Stetige Proportion und doppeltes Verhältnis. Verständnisfrage

Question

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Mir geht es um eine Stelle in Fr. Barths Buch Algebra 4 bzw. 10, S. 63. Dort geht es um die Geschichte gebrochener Exponenten. Dort finden sich mit Bezug auf 2 Definitionen des 5. Buch der Elemente zwei Aufgaben. In der ersten handelt es sich um die 9 Definition, wonach bei drei Größen in stetiger Proportion die erste zur dritten zweimal im Verhältniswie zur zweiten stehe. Man kann auch von einem doppelten Verhältnis sprechen. Das geben sie mit \( \mathbf{a}: \mathbf{b}=\mathbf{b}: \mathbf{c}=\mathbf{a}: \mathbf{c}=(\mathbf{a}: \mathbf{b})^{\mathbf{2}} \) wieder, verbunden mit der Aufforderung, die Richtigkeit der aufgestellten Beziehung zu beweisen. Gäbe man das mit einem Zahlenbeispiel wie \( 4: 6=6: 9=2: 3 \) wieder, hätte ich \( \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{9}}=\left(\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{6}}\right)^{\mathbf{2}}=\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{9}}=\frac{\mathbf{1 6}}{\mathbf{3 6}} \). Das ist natürlich richtig, ohne daß ich darauf schlau werde. Im Lösungsheft S. 20 geben sie das formal als
\( \boldsymbol{a}: \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}: \boldsymbol{c}=: \lambda \) wieder. Dann gelte: \( \mathbf{a}=\lambda \mathbf{b} \) und \( \mathbf{b}=\lambda \mathbf{c}, \Rightarrow \mathbf{a}=\lambda^{2} \mathbf{c}<=>\mathbf{a}: \mathbf{c}=\lambda^{2}=(\mathbf{a}: \mathbf{b})^{2} \).
\( \mathrm{Da} \beta \mathbf{a}=\lambda \mathbf{b} \) und \( \mathbf{b}=\lambda \mathbf{c} \) ist klar. \( 4=6 \cdot \frac{2}{3} \) und \( 6=9 \cdot \frac{2}{3} \), aber der Schluß ist mir nicht ganz klar. Wie komme ich auf \( \mathbf{a}=\lambda^{2} \mathbf{c} \) ? Und wie erklärt sich der Rest? \( 4=\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot c=\frac{4}{9} \cdot 9<=>4: 9=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=(4: 9)^{2} \).
Warum und wie ich genau darauf komme, verstehe ich nicht. Bezogen auf mein Beispiel müßte ich natürlich eher schreiben \( \mathbf{a}: \mathbf{b}=\mathbf{b}: \mathbf{c}=\boldsymbol{\lambda}: \boldsymbol{\mu} \) und \( \mathbf{a}=\mathbf{b} \frac{\lambda}{\mu} \) bzw. \( \mathbf{b}=\mathbf{c} \frac{\lambda}{\mu} \). Aber auch damit finde ich keinen passenden Lösungsansatz. Hat jemand eine Idee oder einen Tip?

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Na ja, es ist reine Spielerei mit Umformen (a, b und c alle ≠ 0 vorausgesetzt):

\( \begin{array}{l}\frac{a}{b}=\frac{b}{c} \Rightarrow c=\frac{b^{2}}{a}  \Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{a}{\frac{b^{2}}{a}}=\frac{a^{2}}{b^{2}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{2}\end{array} \)

Answer 1

Wenn \(a=\lambda b\) und \(\red{b=\lambda c}\), dann ist doch logisch, dass \(a=\lambda \red{b}=\lambda \cdot \red{\lambda c} = \lambda^2 c\), oder nicht? Und mit \(\lambda=a\,:\,b\) folgt dann \(a\,:\,c=(a\,:\,b)^2\).

In deiner Rechnung ist übrigens \((2\,:\,3)^2=(4\,:\,9)^2\) nicht richtig.

Comments

Tippfehler, einmal fehlt ein \(^2\), einmal ist es zuviel.

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Danke. Hatte den Fehler gesehen, aber wohl das falsche \(^2\) entfernt. ;)

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Ja, da ist mir beim Abtippen ein Fehler unterlaufen.

Aber Danke für die prompte Antwort. Hatte wohl zu kompliziert gedacht und bin nicht auf diese einfache Einsetzungsmethode gekommen.