Äquivalenzrelation oder partielle Ordnung?

Question

Aufgabe: G(Z,Z) mit G={(x,y) | es existiert ein neN. x = y+n}

Handelt es sich bei der gegebenen Relation um eine Äquivalenzrelation oder um eine partielle Ordnung?

Problem/Ansatz:

Hey Leute, ich brauche eure Hilfe bei den Beweisen für die entsprechenden Bedingungen :/

Denn ich weiß, dass in beiden Fällen die Relation sowohl reflexiv, als auch transitiv ist. Sollte es sich um eine Äquivalenzrelation handeln, wäre die Funktion noch symmetrisch, bzw. bei der partiellen Ordnung antisymmetrisch.

Für andere Relationen habe ich die Beweise immer hinbekommen, allerdings weiß ich nicht, wie ich hier bei einer Funktion die Beweise führen muss(und finde bis jetzt auch keine ähnlichen Aufgaben zum Vergleichen). Vielleicht kann mir jemand von euch ja einen Ansatz geben oder Links zu ähnlichen Aufgaben schicken, damit ich mich daran orientieren kann.

Schonmal Danke für eure Hilfe :)

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Prüfe mal die Symmetrie !

Answer 1

Hallo,

bei solchen Aufgaben halte ich es immer für eine gute Idee anhand von ein paar Beispielen zu testen, was die geforderte Bedingung bedeutet.
Ist z.B. \((1,1)\) in \(G\)? Das würde ja heißen, dass es ein \(n\in\mathbb{N}\) geben muss sodass \(1=1+n\). Da kommt es also darauf an ob ihr \(0\in\mathbb{N}\) festgelegt habt oder nicht.

Wie sieht es dann allgemein für \((z,z)\) aus?

Symmetrie lässt sich auch meistens ganz gut testen. Probiere z.B. mal \((5,2)\) und \((2,5)\).
Vielleicht fällt dir dann schon auf unter welcher Bedingung \((x,y)\) in \(G\) liegt.

Zur Transitivität: \((7,4)\) und \((4,2)\) liegen jeweils in \(G\). Liegt auch \((7,2)\) in \(G\)? Schreibe dir ggf mal die entsprechenden \(n\) auf, die begründen warum die Paare in \(G\) liegen und schaue ob dir was auffällt.

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danke für den tipp, ich probier es direkt mal so aus :)