Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen um Äquivalenzrelationen bzw. partielle Ordnungen handelt

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen um Äquivalenzrelationen bzw. partielle Ordnungen handelt:

a) \( \{(A, B): A, B \subseteq X \), es existiert eine bijektive Abbildung \( f: A \rightarrow B\} \), wobei \( X \) eine feste Menge ist.

b) \( \left\{((a, b),(c, d)) \in(\mathbb{Q} \times \mathbb{Q})^{2}:(a<c) \vee(a=c \wedge b \leq d)\right\} \)

c) \( \left\{(f, g) \in \mathbb{Q}^{\mathrm{Q}} \times \mathbb{Q}^{\mathbb{Q}}: \forall x \in \mathbb{Q}: f(x) \leq g(x)\right\} \), wobei \( \mathbb{Q}^{\mathbb{Q}} \) die Menge aller Abbildungen von \( \mathbb{Q} \) nach \( \mathbb{Q} \) bezeichnet.

d) \( \{(a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}: n \) teilt \( a-b\} \), wobei \( n \in \mathbb{N} \)

Answer 1

a) ist eine Äquivalenzrelation. Ich nenne die zu untersuchende
Menge mal M.
Du musst drei Sachen beweisen:

reflexiv, d.h. Jedes Paar (A,A) gehört zu M.
Das ist klar, denn es gibt eine bijektive Abb von A nach A, z.B. die Identität,
jedem x wird zugeordnet x.

symmetrisch   wenn (A,B) dazu gehört, dann auch (B,A).
klar, bijektive Abb von A nach B hat immer auch bijektive
Umkehrabbildung von B nach A.

transitiv   wenn (A,B) und (B,C) dazu gehören muss auch (A,C) dazu gehören.
Ist so, denn Bijektion b1 von A nach B und Bijektion b2 von B nach C
werden hintereinander ausgeführt   b2 o b1 und es entsteht
eine Bijektion von A nach C.

Comments

und wie würde man es bei den anderen dreien machen?