Zeige, dass es stets ein n∈ℕ und eine Matrix A∈Knxn gibt, damit p(A)≠0 ist.

Question

Aufgabe:

Hey Leute, ich habe folgendes Problem:

Wir haben ein Polynom p∈K[X]\{0}. Nun soll ich zeigen, dass es stets ein n∈ℕ und eine Matrix A∈K^nxn gibt, damit p(A)≠0 ist.

Kann mir jemand dabei helfen? Danke

Answer 1

Wähle $A$ so, dass $p$ das charakteristische Polynom von $A$ ist.

Comments

Es soll doch $p(A)\neq 0$ sein ...

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Ja das ist mir gerade auch aufgefallen als ich es als Beweis formulieren wollte. Trotzdem Danke

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Idee: ein Polynom hat nur endlich viele Nullstellen.
Daher hat insbesondere ein vorgegebenes Minimalpolynom
nur endlich viele Nullstellen. Damit müsste man doch was
anfangen können ? Ich denke da an Cayley-Hamilton ...

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Also Cailey-Hamilton haben wir erst später in der Vorlesung :) Aber es hat wohl was mit dem Einsetzungshomomorphismus zu tun…

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Ist über den Körper K etwas angegeben ?

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Nein. Alle gegeben Infos sind wie ich es oben geschrieben habe.