Aloah :)
Da du bereits die Bilder der Basisvektoren gegeben hast, kannst du die Abbildungsmatrix sofort hinschreiben:$$L\colon\; \vec x\mapsto A\cdot\vec x\quad;\quad A=\left(\begin{array}{rr}2 & -2\\3 & -3\end{array}\right)$$Da die Bilder der Basisvektoren eindeutig sind, ist die Abbildung eindeutig definiert.
Zur Bestimmung des Kerns lösen wir das homogene Gleichungssystem:$$\begin{array}{rr|c|l}x_1 & x_2 & = & \text{Aktion}\\\hline 2 & -2 & 0 &\colon2 \\3 & -3 & 0 & \colon3\\\hline 1 & -1 & 0 & \\1 & -1 & 0 & -\text{Gleichung 1}\\\hline1 & -1 & 0 &\Rightarrow x_1-x_2=0\\0 & 0 & 0 & \Rightarrow 0=0\quad\checkmark\end{array}$$Wegen \((x_1-x_2=0)\) muss \((x_2=x_1)\) gelten. Daher lauten alle Lösungen:$$\binom{x_1}{x_2}=\binom{x_1}{x_1}=x_1\binom{1}{1}\quad\implies\quad \operatorname{Kern}(A)=\binom{1}{1}$$
Das Bild erhalten wir, wenn wir \(A\) mit einem beliebigen Vektor \(\vec x=(x_1;x_2)^T\) multiplizieren:$$\vec y=A\vec x=\left(\begin{array}{rr}2 & -2\\3 & -3\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=x_1\binom{2}{3}-x_2\binom{2}{3}=(x_1-x_2)\binom{2}{3}$$Alle Vektoren des Bildes sind kollinear zum Vektor \(\binom{2}{3}\). Dieser stellt daher eine Basis des Bildes dar:$$\operatorname{Bild}(A)=\binom{2}{3}$$
