Was meint man mit f(xn) = 0.005 genau?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie einen Näherungswert \( x_{n} \) für die Nullstelle der Funktion \( f \), mit

\( f(x)=7 x+\sin (x)+14 \)
mithilfe des Newton-Verfahrens mit Startwert \( x_{0}=-2 \).Die Iteration soll abgebrochen werden, sobald \( \left|f\left(x_{n}\right)\right| \leq \) \( 0.005 \) gilt. Geben Sie die Näherungswerte gerundet auf vier Stellen nach dem Komma an.

Problem:

Bei mir kommt bei n1 = -1,9956 raus (gerundet auf 4. Nachkommastelle), ich verstehe nur nicht wann genau das beendet werden muss. Was meint man mit f(xn) <= 0.005 genau?

Answer 1

Du suchst ja die Nullstelle und es langt hier wenn die Nullstelle also vom Betrag her <= 0.005 ist.

x0 = -2
f(-2) = -0.9092974268 < -0.005 <-- Das ist noch nicht nahe genug an 0 dran

x1 = -1.861889777
f(-1.861889777) = 0.008840932822 > 0.005 <-- Das ist noch nicht nahe genug an 0 dran

x2 = -1.863206763
f(-1.863206763) = 8.362036021·10^(-7) < 0.005 <-- Das ist jetzt nahe genug an 0 dran

Comments

und es langt hier wenn die Nullstelle also vom Betrag her <= 0.005 ist.

Damit widerspricht du dir aber selbst, denn du kommst auf eine Nullstelle in der Nähe von -1,86...

-1,86 ist vom Betrag her aber nicht <=0.005 ...

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Der Funktionswert an der genäherten Nullstelle soll vom Betrag kleiner gleich 0.005 sein.

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Danke für die Korrektur, jetzt ist es nicht mehr missverständlich.