Der nullte Näherungsbruch

Question

Aufgabe:

Konstruieren Sie, ein Beispiel für eine reelle Zahl α, sodass auch
der nullte Näherungsbruch A₀ zu α eine beste Näherung zweiter Art ist. Tipp:
Es ist stets A₀ ∈ Z. (Warum?) Was passiert nun, wenn wir b = 1 setzen?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Definition 2.3.3. Zu einer gegebenen reellen $\mathrm{Zahl} \alpha$ nennen wir eine rationale Zahl $\frac{a}{b}$ mit teilerfremden $a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}$ eine beste Näherung zweiter Art zu $\alpha$, wenn für alle $c \in \mathbb{Z}, d \in \mathbb{N}$ mit $\frac{c}{d} \neq \frac{a}{b}$ und $d \leq b$ die Abschätzung
$|d \alpha-c|>|b \alpha-a|$
gilt.

Warum A₀ ∈ Z: Der nullte Näherungsbruch stellt per Definition den ganzzahligen Anteil von α dar, also  gehört A₀ immer zu ℤ.
Meine Vermutung: Der nullte Näherungsbruch ist genau dann eine beste Näherung zweiter Art, wenn der Bruchteil von α kleiner als 1/2 ist -> Begründung.
Da die ganzen Zahlen in ℤ in äquidistanten Schritten (Abstand 1) liegen, ist A₀ genau dann der nächstliegende ganze Wert zu α, wenn der Abstand |α−A₀| kleiner ist als 1/2

Weiß jemand ob das so richtig ist? Mir wurde gesagt, dass der nullte Näherungsbruch nur bei einer Ausnahme die Bedingung zweiter Art erfüllt. Meine Vermutung wäre aber eine sehr große "Ausnahme" und erscheint mir deshalb als falsch.

Answer 1

Du liegst richtig....:)