Beweisen dass die Abbildung definiert ist durch:

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es sei \( V=\{p \in \mathbb{R}[X] \mid \operatorname{deg} p \leq 2\} \) und \( a, b, c \in \mathbb{R} \) fest gewählt. Überzeugen Sie sich davon, dass die Abbildung \( \langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{R} \), definiert durch
\( \langle p, q\rangle:=p(a) q(a)+p^{\prime}(b) q^{\prime}(b)+p^{\prime \prime}(c) q^{\prime \prime}(c) \)
ein Skalarprodukt ist (dabei bezeichne \( p^{\prime} \) bzw. \( p^{\prime \prime} \) die erste bzw. zweite formale Ableitung von \( p \) ) und bestimmen Sie den Abstand von \( p:=X^{2}+1 \) zu \( U:=[1, X] \).

Answer 1

1. Die Abbildung ist symmetrisch, also ist zu zeigen

\(\langle p, q\rangle = \langle q, p\rangle \)

Also für alle p,q

\(p(a) q(a)+p^{\prime}(b) q^{\prime}(b)+p^{\prime \prime}(c) q^{\prime \prime}(c) \)

\( =   q(a) p(a)+q^{\prime}(b) p^{\prime}(b)+q^{\prime \prime}(c) p^{\prime \prime}(c) \)

Was wohl klar ist.

2. bilinear , also etwa

\(\langle p+r, q\rangle = \langle p, r\rangle +\langle q, r\rangle \)

Verwende dazu die Linearität der Ableitungen und das Distributivgesetz.

3. pos. definit:  \(\langle p, p\rangle \ge 0 \)

\(\langle p, p\rangle \) ist die Summe dreier Quadrate, also OK.