Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussage

Question

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2. Aufgabe Es sei $K$ ein Körper und $V \neq\{0\}$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $n \in \mathbb{N}$. Weiter sei $f: V \rightarrow V$ eine $K$-lineare Abbildung. Wir schreiben $\chi_{f}=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} T^{i} \in K[T]$. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen.
1. $f$ ist bijektiv.
2. $a_{0} \neq 0$.
Schreiben Sie im Fall der Bijektivität von $f$ die inverse Abbildung $f^{-1}: V \rightarrow V$ als eine $K$-Linearkombination der Elemente $f^{i}, 0 \leq i<n$.

Aufgabe Lineare Algebra

Problem/Ansattz

Es sei K ein Körper und V ̸= {0} ein endlichdimensionaler K-Vektorraum der Dimension n ∈ N. Weiter sei f : V → V eine K-lineare Abbildung. Wir schreiben χf = ni=0 aiTi ∈ K[T]. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen.
1. f ist bijektiv

2. a0 ̸= 0.
Schreiben Sie im Fall der Bijektivität von f die inverse Abbildung f −1 : V → V als eine
K-Linearkombination der Elemente fi, 0 ≤ i < n.

Ich bräuchte dringend Hilfe bei der Aufgabe

Comments

Es wäre sicher ganz hilfreich gewesen, wenn du uns
mitgeteilt hättest, dass $\chi_f$ das charakteristische Polynom
von $f$ sein soll!

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Sorry habe das total vergessen!

Answer 1

Es gilt $a_0=\pm\det(f)$, somit ist $a_0\neq 0 \iff \det(f)\neq 0 \iff f$ bijektiv.

Im Falle der Bijektivität:

Cayley-Hamilton liefert $\sum_{i=1}^n a_i f^i+a_0=\chi_f(f)=0$.

Da $f$ in $K[f]$ invertierbar ist, liefert Multiplikation mit $f^{-1}$:

$\sum_{i=1}^n a_if^{i-1}+a_0f^{-1}=0$, also$$f^{-1}=\sum_{i=0}^{n-1}(-\frac{a_{i+1}}{a_0})f^i$$

Comments

Vielen Dank ! Hast mir sehr geholfen