Es seien V und W euklidische Vektorräume und ϕ : V →W eine lineare Abbildung.
Nun soll ich zeigen, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
i) Für alle x, y ∈ V gilt: x ⊥ y =⇒ ϕ(x) ⊥ ϕ(y).
ii) Für alle x, y ∈ V gilt: ∥x∥ = ∥y∥ ⇒ ∥ϕ(x)∥ = ∥ϕ(y)∥.
iii) Es gibt eine reelle Zahl c ≥ 0, sodass für alle x ∈ V gilt: ∥ϕ(x)∥ = c∥x∥.
iv) Es gibt eine lineare Isometrie ψ : V → W und eine reelle Zahl c > 0 mit ϕ = cψ oder
ϕ ist die Nullabbildung.
Hat jemand eine Ahnung wie das gemacht wird? Irgendwie muss man glaube ich einen Ringschluss-Beweis führen, aber dafür müsste man wissen, wie man z.B. die Äquivalenz von i und ii zeigt.
Weiß jemand wie man die Äquivalenz der vier Aussagen zeigt?
Vielen Dank im voraus!
