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Aufgabe:

Den Grenzwert von n=01n!2n \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n! * 2^n}} mittels dem Cauchy-Produkt bestimmen.


Problem/Ansatz:

Ich quadriere die Reihe, sprich an=n=01n!2n \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!*2^n}} , bn = n=01n!2n \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!*2^n}}

cn = n=0 \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} k=0nakbnk \sum\limits_{k=0}^{n}{ak * b n-k} //k und n unten denken

n=0 \sum\limits_{n=0}^{\infty}{}  k=0n1k!2k1(nk)!2nk \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{k! * 2^k} * \frac{1}{(n-k)!*2^{n-k}}}

Man könnte ja jetzt beispielsweise 1k!(nk)! \frac{1}{k! * (n-k)!} mit n!n! \frac{n!}{n!} erweitern.

12k \frac{1}{2^k} * 12nk \frac{1}{2^{n-k}} wären ja 12n \frac{1}{2^n}

Dann wäre ich bei:

1(nu¨berk)1n!12n \frac{1}{(n über k) * \frac{1}{n!} * \frac{1}{2^n}}

Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. :(

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Hallo,

- Ziehe alles aus der inneren Summer heraus, was "kein k enthält".

- Beachte, dass Du durch das "erweitern" erhältst

1n!(nk)\frac{1}{n!}{ n \choose k}

(Du bist da mit Zähler und Nenner durcheinander gekommen, ebenso mit 1/2n1/2^n)

- Beachte:

k=0n(nk)=2n\sum_{k=0}^n { n \choose k}=2^n

- Benutze die Reihe für die Exponentialfunktion.

- Denke am Ende: Da hätte ich auch gleich drauf kommen können.

Gruß Mathhilf

Avatar von 14 k

12k \frac{1}{2^k} * 12nk \frac{1}{2^{n-k}} ist doch 12n \frac{1}{2^n} ?

Und der Zähler bleibt doch 1??

Ach so war das gemeint oder wie:

n=0 \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} k=0n(nu¨berk)1n!12n \sum\limits_{k=0}^{n}{(n über k) * \frac{1}{n!} * \frac{1}{2^n}}

Wird zu

n=0 \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} k=0n2n1n!12n \sum\limits_{k=0}^{n}{2^n * \frac{1}{n!} * \frac{1}{2^n}}

?

Ohne die Summe über k

n=02n1n!12n \sum\limits_{n=0}^{\infty}{2^n * \frac{1}{n!} * \frac{1}{2^n}}

Wird

n=01n! \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}

Der Grenzwert von dieser Summe wäre ja die eulersche Zahl. Ist das trivial oder muss ich noch beweisen, dass e der Grenzwert ist?

Ich gehe davon aus, dass erwartet wird, dass Du die Reihe für die Exponentialfunktion kennst, also Du nur das Ergebnis e angeben brauchst.

Ja, also die allgemeine Reihe n=0xnn! \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}

Das Cauchy Produkt ist ja dann einfach e? Und damit der Grenzwert: e berechnet?

Ja. Und die Ausgangsreihe ist diese Reihe für den Wert x=1/2, also ist ihr Wert e1/2=ee^{1/2}=\sqrt{e}

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