Berechnen Sie nun den Grenzwert lim n→∞ =dn.

Question

Aufgabe:

Die rekursiv definierte Folge (d_n)_n∈N mit d₁=0 und d_n+1=(d_n/2)²+1 ist monoton und beschränkt.

Berechnen Sie nun den Grenzwert lim n→∞ =d_n.

Answer 1

Aloha :)

Da die Folge monoton und beschränkt ist, konvergiert sie gegen einen Grenzwert $d$.

$$d_{n+1}=\left(\frac{d_n}{2}\right)^2+1\quad\big|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$$$\lim\limits_{n\to\infty} d_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{d^2_n}{4}+1\right)\quad\big|\text{Grenzwertsätze anwenden}$$$$\lim\limits_{n\to\infty} d_{n+1}=\frac{\left(\lim\limits_{n\to\infty} d_n\right)^2}{4}+1\quad\big|d\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}d_n=\lim\limits_{n\to\infty}d_{n+1}$$$$d=\frac{d^2}{4}+1\quad\big|\cdot4$$$$4d=d^2+4\quad\big|-4d$$$$d^2-4d+4=0\quad\big|\text{2-te binomische Formel}$$$$(d-2)^2=0\quad\big|\sqrt{\cdots}$$$$d-2=0\quad\big|+2$$$$d=2$$