Wie lange dauert eine Umkreisung in Minuten?

Question

Aufgabe:

Eine Raumstation fliegt in einer Höhe von 415.3 km um die Erde. Wie lange dauert eine Umkreisung in Minuten? Die Masse der Erde beträgt 5,972*10²⁴ kg und der Radius 6371 km.

G=6,673*10^(-11) N*m²/kg²

Problem/Ansatz:

Mir hat der Lehrer gesagt ich soll diese Formel benutzen T=2π*(√r³/m*G=), aber ich verstehe nicht was mir da dann die höhe bringt und auch wenn ich den Radius benutze ergibt es 5061.4....., dies ist jedoch falsch.

Ich habe die Frage aus Versehen im falschen Forum gepostet!

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Comments

Wenn man einmal die Einheiten einsetzt
kommt nicht Vernünftiges z.B
T = sec oder min heraus

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5061.4 kommt raus, wenn du die 415,3 km weglässt.

Answer 1

Hallo,

$T \approx \sqrt{\dfrac{4 \pi^{2}a^3}{G M} } \\= \sqrt{\dfrac{4 \pi^{2}\cdot (6371000+415300)^{3}}{6.673\cdot10^{-11}\cdot5.972\cdot10^{24} } }\,\mathrm{s} \\ \approx 5564\,\mathrm{s}=92\,\mathrm{min}\,44\,\mathrm{s}$

Comments

Hallo monty,
die Formel stand aber so nicht in Frage.
Dann kann ich auch nichts Vernünftiges
herausbringen.

mfg Georg

And now something completely different
Wie sagt es der Dichter
Dumm sein und Arbeit haben das ist das
wahre Glück.

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Hallo Georg,

prinzipiell steht sie schon so in der Aufgabe, nur nicht so schön. Ich habe sicherheitshalber noch einmal "gekugelt".

:-)

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T=2π*(√r³/m*G=)
Dieser Mist entspricht nicht deiner Formel.

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Bestenfalls
T = 2π* √( r³ / (m*G) )

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T=2π*√(r³/(m*G))=...

Die Klammer macht's!

Du hast es jetzt ja auch.

:-)

Answer 2

Die Erdoberfläche ist 6371 km über dem Erdmittelpunkt.

Die Raumstation ist nochmal 415.3 km höher, ihr Bahnradius ist also 6371 km + 415.3 km = 6786,3 km.

Comments

Da bekomme ich 0.176..., dies ist jedoch ebenfalls falsch.

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Dann sollest Du vielleicht den Radius im m angeben und nicht km?

Answer 3

Aloha :)

Die Zentrifugalkraft $F_z=m\,\frac{v^2}{r}$ muss der Gravitationskraft $F_G=G\frac{m\cdot M}{r^2}$ entgegenwirken:$$F_Z=F_G\implies m\,\frac{v^2}{r}=G\frac{m\cdot M}{r^2}\implies v^2=G\frac{M}{r}\implies v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$Die Umlaufbahn im Orbit hat die Länge $\ell=2\pi\,r$.

Für die Umlaufzeit $T$ gilt daher:$$T=\frac{\ell}{v}=\frac{2\pi\,r}{\sqrt{\frac{GM}{r}}}=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$$

Jetzt musst du nur noch die Größen einsetzen:$$T=2\pi\sqrt{\frac{(6371\,\mathrm{km}+415,3\,\mathrm{km})^3}{6,673\cdot10^{-11}\,\frac{\mathrm N\,\mathrm m^2}{\mathrm{kg}^2}\cdot5,972\cdot10^{24}\,\mathrm{kg}}}=2\pi\sqrt{\frac{(6786,3\,\mathrm{km})^3}{6,673\cdot10^{-11}\,\frac{\frac{\mathrm{kg}\,\mathrm m}{\mathrm s^2}\,\mathrm m^2}{\mathrm{kg}^2}\cdot5,972\cdot10^{24}\,\mathrm{kg}}}$$$$\phantom T=2\pi\sqrt{\frac{(6786,3\cdot10^3\,\mathrm{m})^3}{6,673\cdot10^{-11}\cdot5,972\cdot10^{24}\,\frac{\mathrm m^3}{\mathrm s^2}}}=2\pi\sqrt{\frac{6786,3^3\cdot10^9\,\mathrm m^3}{6,673\cdot5,972\cdot10^{13}\,\frac{\mathrm m^3}{\mathrm s^2}}}$$$$\phantom{T}=2\pi\sqrt{\frac{6786,3^3\,\mathrm s^2}{6,673\cdot5,972\cdot10^{4}}}=5564,28\,\mathrm s\approx92,738\,\mathrm{min}$$