Beweisen Sie die folgende Ungleichung mithilfe des Mittelwertsatzes

Question

Hallo, ich weiß bei folgender Aufgabe nicht, wie ich vorgehen soll & wäre froh wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Sei \( c>0 \). Beweisen Sie die folgende Ungleichung mithilfe des Mittelwertsatzes:
\( 1-\frac{1}{c} \leq \ln (c) \leq c-1 . \)

Danke im voraus.

Answer 1

Mit $$ f(x) = x - 1 - \ln(x) $$ folgt $$ f(x) = f(x) - f(1) = f'(\xi)(x-1) = \left( 1 - \frac{1}{\xi} \right) (x-1) $$ mit \( 0 < x < \xi < 1 \) oder \( 1 < \xi < x \)

In beiden Fällen folgt \( f(x) \ge 0 \)

Für \( x = 1 \) folgt \( f(1) = 0 \)

Also gilt auch hier die Ungleichung

Die andere Ungleichung geht genauso.

Comments

Für f(x) = ln(x) gilt : Es gibt ein x₀ mit 1 ≤ x₀ ≤ c so : f'(x₀) = ( f(c) - f(1) ) / (c - 1) also
1/c ≤ 1/x₀ = (ln(c) - 0) / (c-1) ≤ 1/1  ⇒  (c-1)/c ≤ ln(c) ≤ c-1 .