Wie kann ich die Gleichung arctan(x) + arctan (1/x) = π/2 mithilfe des Mittelwertsatzes zeigen?

Question

Hi, ich möchte diese Aussage mithilfe des Mittelwertsatzes zeigen, weiß aber nicht so recht wie die Aussagen des Mittelwertsatzes mir weiterhelfen könen. Ich möchte für \( x>0 \)

arctan \( (x)+\arctan \left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2} \) beweisen.

Ich bin jetzt so vorgegangen, dass ich jeweils die Ableitung der beiden Summanden gebildet habe, addiert habe und bei null gelandet bin.

Nun sagt der MWS ja (grob) aus, dass wenn ich ein Intervall gegeben habe, es einen Punkt geben muss, dessen Steigung mit der Sekantensteigung des Intervalls übereinstimmt.

Aber ich habe gerade überhaupt keinen blassen schimmer, wie mir das in meinem Fall nun weiterhelfen soll:(

Wisst ihr vielleicht weiter?

Answer 1

Wenn die Ableitung einer Funktion \( 0 \) ist, dann ist die Funktion eine Konstante. D.h. man kann einen einzelnen Wert ffür \( x \) in die Funktion einsetzen, und das ist der Wert, den die Funktion überall annimmt..

Hier bietet sich \( x = 1 \) an, denn \( \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \) und \( \arctan \left( \frac{1}{1} \right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \)

Also $$ \arctan(x) + \arctan \left( \frac{1}{x} \right) = \arctan(1) + \arctan \left( \frac{1}{1} \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}  $$