Aufgabe:y''-2y'+2y=e^2x*sin(x)
Problem/Ansatz:hallo hier ist eine inhomogene Differentialgleichung 2ter Ordnung zu lösen wobei die zusammengesetzte
Störfunktion mit e^2x*sin(x) noch mehr Bauchschmerzen bereitet habe als Bildelement meine Bemühungen habe mich wie ich leider annehmen muss sicher irgendwo verheddert
Text erkannt:
\( y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=e^{(2 x)} \cdot \sin x \) zuerst löse ich wie immer den homogenen
Teil
\( \lambda^{2}-2 \lambda+2=0 \)
\( =\frac{+2 \pm \sqrt{-2^{2}-4 \cdot 2}}{2}=1 \pm i \) nun habe für den partikulären Ansatz
\( y_{p}=e^{(2 x)} \cdot(\operatorname{Asin}(x)+\operatorname{Bcos}(x)) \) ausgemacht dies wieder \( 2 \cdot \) ableiten
\( y_{p}^{\prime}=2 e^{(2 x)} \cdot(\operatorname{Asin}(x)+\operatorname{Bcos}(x))+e^{(2 x)} \cdot(\operatorname{Acos}(x)-B \sin (x)) \)
\( y^{\prime \prime} p=4 e^{(2 x)} \cdot(A \sin (x)+B \cos (x))+2 e^{(2 x)} \cdot(A \cos (x)-B \sin (x)) \)
\( 2 e^{(2 x)} \cdot(\operatorname{Acos}(x)-B \sin (x))+e^{(2 x)} \cdot(-\operatorname{Asin}(x)-\operatorname{Bcos}(x)) \) nun
einsetzen
\( y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=e^{(2 x)} \cdot \sin x \)
\( 4 e^{(2 x)} \cdot(A \sin (x)+\operatorname{Bcos}(x))+2 e^{(2 x)} \cdot(A \cos (x)-\operatorname{Bsin}(x)) \)
\( 2 e^{(2 x)} \cdot(\operatorname{Acos}(x)-\operatorname{Bsin}(x))+e^{(2 x)} \cdot(-\operatorname{Asin}(x)-\operatorname{Bcos}(x))-2\left(\left(2 e^{(2 x)} \cdot(A \sin (x)+\operatorname{Bcos}(x\right.\right. \)
\( (\operatorname{Acos}(x)-\operatorname{Bsin}(x)))+2\left(e^{(2 x)} \cdot(\operatorname{Asin}(x)+\operatorname{Bcos}(x))\right)=e^{(2 x)} \cdot \sin x \) nun
Text erkannt:
einsetzen
\( y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=e^{(2 x)} \cdot \sin x \)
\( 4 e^{(2 x)} \cdot(A \sin (x)+B \cos (x))+2 e^{(2 x)} \cdot(A \cos (x)-B \sin (x)) \)
\( 2 e^{(2 x)} \cdot(A \cos (x)-B \sin (x))+e^{(2 x)} \cdot(-A \sin (x)-B \cos (x))-2\left(\left(2 e^{(2 x)} \cdot(A \sin (x)+B \cos (x\right.\right. \)
\( (\operatorname{Acos}(x)-\operatorname{Bsin}(x)))+2\left(e^{(2 x)} \cdot(\operatorname{Asin}(x)+\operatorname{Bcos}(x))\right)=e^{(2 x)} \cdot \sin x \) nun
kürze ich auf beiden Seiten das e \( (2 x) \) ergibt
\( 4(A \sin (x)+B \cos (x))+2(A \cos (x)-B \sin (x)) \)
\( 2(A \cos (x)-B \sin (x))+(-A \sin (x)-B \cos (x))-2(A \sin (x)+B \cos (x))+ \)
einsetzen
\( y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=e^{(2 x)} \cdot \sin x \)
\( 4 e^{(2 x)} \cdot( \) Asin \( (x)+B \cos (x))+2 e^{(2 x)} \cdot( \) Acos \( (x)-B \sin (x)) \)
\( \quad 2 e^{(2 x)} \cdot( \) Acos \( (x)-B \sin (x))+e^{(2 x)} \cdot(-A \sin (x)-B \cos (x))-2\left(\left(2 e^{(2 x)} \cdot(\right.\right. \) Asin \( (x)+B \cos (x \)
\( ( \) Acos \( (x)-B \sin (x)))+2\left(e^{(2 x)} \cdot(\right. \) Asin \( \left.(x)+\operatorname{Bcos}(x))\right)=e^{(2 x)} \cdot \sin x \) nun
kürze ich auf beiden Seiten dase \( e^{(2 x)} \) ergibt
\( 4( \) Asin \( (x)+B \cos (x))+2( \) Acos \( (x)-B \sin (x)) \)
\( \quad 2( \) Acos \( (x)-B \sin (x))+(-A \sin (x)-B \cos (x))-2( \) Asin \( (x)+B \cos (x))+ \)
\( ( \) Acos \( (x)-B \sin (x)))+2(( \) Asin \( (x)+B \cos (x)))=\sin x \)
\( \sin x(4 A-2 B-2 B-A-2 A-B+2 A)=\sin x \)
\( 1 A-5 B=1 A=1+5 B \)
\( \cos (4 B+2 A+2 A-B-2 B+A+2 B)=0 \)
\( 3 B+5 A=0 \)
\( 3 B+5(1+5 B)=0 \Rightarrow 28 B=-5 B=-\frac{5}{2 B} \)
\( (A \cos (x)-B \sin (x)))+2((A \sin (x)+B \cos (x)))=\sin x \)
\( \sin x(4 A-2 B-2 B-A-2 A-B+2 A)=\sin x \)
\( 1 \mathrm{~A}-5 \mathrm{~B}=1 \mathrm{~A}=1+5 \mathrm{~B} \)
\( \cos (4 B+2 A+2 A-B-2 B+A+2 B)=0 \)
\( 3 \mathrm{~B}+5 \mathrm{~A}=0 \)
\( 3 B+5(1+5 B)=0 \Rightarrow 28 B=-5 B=-\frac{5}{28} \)
\( A=\frac{3}{28} \) sieht schon falsch aus
Windows aktivier
Text erkannt:
\( 3 B+5 A=0 \)
\( 3 B+5(1+5 B)=0 \Rightarrow 28 B=-5 B=-\frac{5}{28} \)
\( A=\frac{3}{28} \) sieht schon falsch aus
\( y_{p}=e^{(2 x)} \cdot \frac{3}{28} \cdot \sin (x)-\frac{5}{28} \cdot \cos (x) \) und gesamt
\( c_{1 e} x \cdot \sin (-x)+c_{2 e} x \cos (x)+e^{(2 x)} \cdot \frac{3}{28} \cdot \sin (x)-\frac{5}{28} \cdot \cos (x) \) gut dies
war natürlich total verheddert, wenn mich einer von den Profis aus dem
Urwald meiner Verwirrungen befreien könnte.
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