Zeigen, dass folgende Folge eine Nullfolge ist

Question

Aufgabe:

Sei \( \left\{b_{k}\right\}_{k} \subset \mathbb{R} \) eine Folge positiver Zahlen. Zeigen Sie, dass dann \( \left\{c_{n}^{-1}\right\}_{n} \) mit

\( c_{n}:=\sum \limits_{k=1}^{n}\left(b_{k}+\frac{1}{b_{k}}\right), \quad n \in \mathbb{N} \)

eine Nullfolge ist.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Für eine beliebige reelle Zahl \(b>0\) gilt:$$(b-1)^2\ge0\implies b^2-2b+1\ge0\implies b^2+1\ge2b\stackrel{(b>0)}{\implies}b+\frac1b\ge2$$

Daher gilt für die \((c_n)\):$$c_n=\sum\limits_{k=1}^n\left(b_k+\frac{1}{b_k}\right)\stackrel{(b_k>0)}{\ge}\sum\limits_{k=1}^n2=2n\quad\implies\quad c_n^{-1}\le\frac{1}{2n}\stackrel{(n\to\infty)}{\to}0$$