Sei K ein Körper und V ein K- Vektorraum mit dim V = n < ∞. Sei A∈Knxn nilpotent. Zeigen sie: PA(t) = ± tn .

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und V ein K- Vektorraum mit dim V = n < ∞

Sei A∈K^nxn nilpotent.

(i) Zeigen sie: P_A(t) = ± tⁿ . Welche Minimalpolynome kommen für A in Frage?

(ii) Sei A^n-1≠0. Beweisen sie, dass es keine Quadratwurzel aus A gibt, d.h. kein B∈K^nxn mit B² = A.

Könnte jemand helfen?

LG Balckwolf :)

Answer 1

Sei $\lambda$ ein Eigenwert von $\boldsymbol{A}$, und $v \in \mathrm{K}^{n}$ ein dazugehöriger Eigenvektor. Dann gilt
$A^{n} v=0 \Longleftrightarrow \lambda^{n} v=0 \stackrel{v \neq 0}{\Longrightarrow} \lambda=0 .$
Also hat $\boldsymbol{A}$ nur den Eigenwert 0, womit das charakteristische Polynom also die Form
$p_{\boldsymbol{A}}(x)=\pm x^{n}$
annimmt. Das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom, es hat also die Form
$m_{A}(x)=x^{k}, \quad k \in\{1, \ldots, n\}$
Schaffst du die zweite alleine?

Comments

Danke erstmal für die Antwort.

Könntest du mir da einen Hinweis geben wie ich Anfangen muss?