Question

Untersuchen Sie, ob \( ([0,1],|\cdot|) \) und \( (\mathbb{R},|\cdot|) \) zueinander homöomorph sind.

Answer 1

Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen

Abbildung ist kompakt. \([0,1]\) ist kompakt. Daher ist das Bild ebenfalls kompakt.

Da \(\mathbb{R}\) aber nicht kompakt ist, kann es keine

surjektive stetige Abbildung \([0,1]\rightarrow \mathbb{R}\) geben,

also erst recht keinen Homöomorphismus.