Hallo,
wie im eindimensionalen Fall benötigt man eine Variante des Mittelwertsatzes. Vielleicht habt Ihr da etwas besprochen. Wenn nicht, kann man es so machen:
Es seien zwei Punkte \((x,y),(x',y') \in (a,b) \times (a,b)\) gegeben. Definiere:
$$h:[0,1] \ to \mathbb{R}, \quad h(t):=f((x,y)+t((x',y')-(x,y)) \; dt$$
Dann gilt mit einem \(s \in (0,1)\):
$$f(x',y')-f(x,y)=h(1)-h(0)=h'(s)$$
Mit der Kettenregel:
$$h'(s)=\partial_x f((x,y)+s((x',y')-(x,y))(x'-x)+ \partial_y f((x,y)+s((x',y')-(x,y))(y'-y)$$
Wenn wir mit p und q Abschätzungen für die partiellen Ableitungen von f bezeichnen folgt:
$$|f(x',y')-f(x,y)| \leq p|x'-x|+q|y'-y|$$
Wählt man die Maximums-Norm:
$$|f(x',y')-f(x,y)| \leq (p+q) \|(x',y')-(x,y)\|_{\infty}$$
Gruß Mathhilf
