Partielle Integration lösen

Question

Aufgabe:

Hallo!

Es handelt sich um die partielle Integration. Ich soll mit Hilfe der partiellen Integration die Stammfunktion folgender Funktion bestimmen: \(2x\cdot\sqrt{x-1}\)

Problem/Ansatz:

Ich hab zwar einen Ansatz, aber bin mir nicht sicher, ob dieser stimmt. Könnt ihr mir eine Rückmeldung geben?

2) \( 2 x \sqrt{x-1} \)
\( \begin{array}{l} F(x)=2 x \cdot \sqrt{(x-1)^{3}}-\int 2 \cdot \sqrt{(x-1)^{3}} d x \\ F(x)=2 x \cdot \sqrt{(x-1)^{3}}-\left[2 x \cdot \sqrt{(x-1)^{5}}\right] \end{array} \)
Nebenrechunung:
\( u=2 x \quad u^{\prime}=2 \)
\( v=\sqrt{(x-1)^{3}} \)
\( v^{\prime}=\sqrt{x-1} \)
\( (x-1)^{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}=(x-1)^{\frac{3}{2}} \)
\( =\sqrt{(x-1)^{3}} \)

Answer 1

Aloha :)

Du musst beim Integrieren durch den neuen Exponenten dividieren:$$I=\int\underbrace{2x}_{=u}\cdot\underbrace{\sqrt{x-1}}_{=v'}\,dx=\int\underbrace{2x}_{=u}\cdot\underbrace{(x-1)^{\frac12}}_{=v'}\,dx=\underbrace{2x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{(x-1)^{\frac32}}{\frac32}}_{=v}-\int\underbrace{2}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac{(x-1)^{\frac32}}{\frac32}}_{=v}\,dx$$$$\phantom{I}=\frac43x(x-1)^{\frac32}-\frac43\int(x-1)^{\frac32}\,dx=\frac43x(x-1)^{\frac32}-\frac43\frac{(x-1)^{\frac52}}{\frac52}+C$$$$\phantom{I}=\frac43x(x-1)^{\frac32}-\frac{8}{15}(x-1)^{\frac52}+C=\frac43x(x-1)^{\frac32}-\frac{8}{15}(x-1)(x-1)^{\frac32}+C$$$$\phantom{I}=(x-1)^\frac32\left(\frac43x-\frac{8}{15}x+\frac{8}{15}\right)+C=(x-1)^\frac32\left(\frac{12}{15}x+\frac{8}{15}\right)+C$$$$\phantom{I}=\frac{4}{15}(x-1)^\frac32\left(3x+2\right)+C$$

Comments

Vielen lieben Dank Tschakabumba!!

Answer 2

Hallo

\( \sqrt{(x-1)^3} )'=3/2*\sqrt{x-1}\)

da bzw beim integrieren  also Faktor 2/3 liegt dein Fehler

entsprechend beim Integral\( \sqrt{(x-1)^5} \) die 2/5 die fehlen.

Meist macht man die Sorte Fehler, indem man mit √ statt hoch1/2 rechnet.

Gruß  lul