Differentialquotienten nach h-Methode

Question

Aufgabe:

Sei f eine an der Stelle x₀ differenzierbare Funktion. Zeigen Sie, dass:

$$ f'(x)= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x_0+h) - f(x_0 - h)}{2h}} $$

Problem/Ansatz:

Die Aussage ist für mich logisch, da ich einfach die Steigung für den Abstand von 2h nehme. Mein Ansatz wäre auch gewesen, dass die gegebene Aussage gleich dem Standarddifferentialquotienten ist und dann umzuformen. Aber bei dieser Umformung komme ich nicht weiter. Oder ist ein anderer Ansatz vielleicht besser?

Comments

Die zu beweisende Aussage ist meines Erachtens falsch.

Nehmen wir die Funktion f(x)=x^2 mit dem eingeschränkten Definitionsbereich x≥1.

\(f'(x)= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \) lässt sich auch für x_0=1 bilden,

\(f'(x)= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x_0+h) - f(x_0 - h)}{2h}} \) aber nicht, da f(1-h) nicht definiert ist.

Answer 1

Die Steigung zwischen den Punkten (x - h | f(x - h)) und (x + h | f(x + h)) ist

m = (f(x + h) - f(x - h)) / ((x + h) - (x - h)) = (f(x + h) - f(x - h)) / (2·h)

Die Steigung an der Stelle x erhält man, wenn man den Abstand der beiden Punkte gegen 0 gehen lässt und damit h → 0 laufen lässt.

Comments

An den Coach,

wo ist eigentlich der Unterschied

[ f ( x + h ) - f ( x - h ) ] / (2h )

und
[ f ( x + h ) - f ( x ) ] / (h )

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einmal hast du die Steigung zwischen den Punkten (x - h | f(x - h)) und (x + h | f(x + h))

und einmal hast du die Steigung zwischen den Punkten (x | f(x)) und (x + h | f(x + h))

Für h → 0 kommt natürlich das Gleiche heraus. Für h ≠ 0 ist das nicht zwingend das Gleiche.

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Was soll der Coach mit dieser Frage?

Vergleiche die beiden Zeilen

[ f ( x + h ) - f ( x - h ) ] / (2h )

und

[ f ( x + h ) - f ( x ) ] / (h )

Siehst du nicht selbst, dass diese Zeilen unterschiedlich lang sind und sich in Details unterscheiden?

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Vielleicht noch die Info zur Einordnung: Der gewöhnliche Differentialqotient hat Fehlerordnung O(h), der symmetrische hat O (h^2).