Rotationskörper und wie man sie berechnet

Question

Aufgabe:

In dieser Übung betrachten wir Rotationskörper, die durch einen Graphen dargestellt werden, der um eine der Koordinatenachsen rotiert. Erläutern Sie jeweils die Berechnung dieser Fälle und veranschaulichen Sie dies idealerweise anhand eines Beispiels (mindestens zwei verschiedene Funktionstypen)

Problem/Ansatz:

Was soll man bei der Aufgabe tun

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Rotationskörper und Erstellung

Stichworte: analysis

Ich weiß es nicht was die von mir will und weiß nicht wie ich vorgeh soll

Answer 1

Das ist aber ein bißchen wenig an Informationen

Stell dir einmal die Gerade y = x im Koordinatensystem vor
( Steigungswinkel der Gerade 45 ° ).
Jetzt läßt du die Gerade vom Nullpunkt um die
x.Achse drehen ( 360 °, einmal herum, im Kreise )

Es entsteht ein 3 dimensionaler Rotationskörper.
Ein Kegel.

Comments

siehe hier

https://www.mathematik.de/spudema/spudema_beitraege/beitraege/mak/da…

Esgibt sicherlich noch weitere Beispiele
im Internet.
Gib Rotationskörper als Suchbegriff ein

Answer 2

Was soll man bei der Aufgabe tun

Du sollst die Berechnung dieser Fälle erläutern und dies idealerweise anhand eines Beispiels (mindestens zwei verschiedene Funktionstypen) veranschaulichen.

Comments

Aber welche Fälle?

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x-Achse, y-Achse

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Achso Danke. Und was ist mit den verschiedenen Funktiontyen gemeint.

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Du könntest z.B. ein Stück einer Geraden und ein Stück einer Cosinusfunktion um die Achsen rotieren lassen.

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Bspw. Eine Funktion/grade die um die x-Achse rotiert und eine Funktion/Cosinusfunktion die um die y- Achse rotiert

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Rotation um die x-Achse.

Der Graph einer Funktion $y(x)$ wird im Intervall $x\in[x_1|x_2]$ einmal vollständig um die $x$-Achse gedreht. Der Punkt $(x|y(x))$ auf dem Graphen beschreibt dabei ein Kreis mit dem Radius $r=y(x)$. Der Mittelpunkt dieses Kreises liegt auf der $x$-Achse. Die Fläche dieses Kreises ist $\pi\,r^2$ bzw. $\pi\cdot [y(x)]^2$.

Um das Volumen $V_x$ des Rotationskörpers zu erhalten, müssen wir die Flächen aller Kreise von $x=x_1$ bis $x=x_2$ addieren. Das geschieht durch Integration. Daher ist:$$V_x=\int\limits_{x_1}^{x_2}\pi\cdot[y(x)]^2\,dx=\pi\int\limits_{x_1}^{x_2}[y(x)]^2\,dx$$

Rotation um die y-Achse.

Der Graph einer Funktion $y(x)$ wird im Intervall $y\in[y_1|y_2]$ einmal vollständig um die $y$-Achse gedreht. Der Punkt $(x|y)$ auf dem Graphen beschreibt dabei ein Kreis mit dem Radius $r=x$. Der Mittelpunkt dieses Kreises liegt auf der $y$-Achse. Die Fläche dieses Kreises ist $\pi\,r^2$ bzw. $\pi\cdot x^2$.

Das Volumen $V_y$ des Rotationskörpers erhalten wir durch Addition aller dieser Kreisflächen entlang der $y$-Achse von $y_1$ bis $y_2$:$$V_y=\int\limits_{y_1}^{y_2}\pi\cdot x^2\,dy=\pi\int\limits_{y_1}^{y_2}x^2\,dy$$Du musst hier also nicht $y(x)$ einsetzen, sondern die Umkehrfunktion $x(y)$ bilden und diese zum Quadrat genommen einsetzen. Die Integration erfolgt entlang der $y$-Achse, also sind die Integrationsgrenzen die jeweiligen $y$-Werte von Anfangs- und Endpunkt.

Wenn du die Umkehrfunktion nicht bilden möchtest, weil es vielleicht zu aufwendig ist, kannst du das Integral auch durch Substitution in eine Integral über $dx$ umformen:$$V_y=\pi\int\limits_{x(y_1)}^{x(y_2)}x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx=\pi\int\limits_{x(y_1)}^{x(y_2)}x^2\,y'(x)\,dx$$Die Integrationsgrenzen sind nun die $x$-Koordinaten von Anfangs- und Endpunkt und die Integration wird entlang der $x$-Achse durchgeführt.

Als Beispiele würde ich $y=x$ und $y=x^2$ im Intervall von $x\in[0;1]$ jeweils um beide Achsen rotieren lassen. Probier es mal. Falls du Schwierigkeiten dabei hast, melde dich einfach nochmal...