Sei V=R^3 und B=(e1,e2,e3) die kanonische Basis von V. Wir bezeichnen die lineare Abbildung u: V->V

Question

Text erkannt:

Sei \( V=\mathbb{R}^{3} \) und \( B=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) \) die kanonische Basis von \( V \). Wir bezeichnen die lineare Abbildung \( u: V \rightarrow V \) mit
\( u\left(e_{1}\right)=-2 e_{1}+2 e_{3}, \quad u\left(e_{2}\right)=3 e_{2}, \quad u\left(e_{3}\right)=-4 e_{1}+4 e_{3} . \)
(i) Bestimmen Sie eine Basis von Kern \( (u) \). Ist \( u \) injektiv? Kann \( u \) surjektiv sein? Warum?
(ii) Bestimmen Sie eine Basis von \( \operatorname{Im}(u) \). Was ist rang \( (u) \) ?
(iii) Zeigen Sie: \( V=\operatorname{Kern}(u) \oplus \operatorname{Im}(u) \).

Answer 1

Sei x ∈ Kern(u) und x=\( a\cdot e_{1} +b \cdot  e_{2}+c \cdot e_{3}  \)

==>

\(u( a\cdot e_{1} +b \cdot e_{2}+c \cdot e_{3})=a\cdot u(e_{1}) +b \cdot u(e_{2})+c \cdot u(e_{3})  \)

mit den gegebenen Werten also

\(u(x)=a\cdot(-2 e_{1}+2 e_{3})  +b \cdot 3 e_{2}+c \cdot (-4 e_{1}+4 e_{3} ) \)

\(=(-2a-4c)e_{1}+3b e_{2} +(2a+4c) e_{3}  \)

==>  u(x) = 0  (Kern !) und wegen der linearen Unabh.

der Basisvektoren gilt

-2a-4c=0 und 3b = 0   und  2a+4c=0

also b=0 und a=-2c.    , also Kern(u)= {\( \begin{pmatrix} -2c\\0\\c \end{pmatrix} | c \in ℝ  \)}.

Also dim(Kern(u)) = 1 somit u nicht injektiv und wegen

dim(Bild(u)) = dim(ℝ^3) - dim(Kern(u)) = 2

kann u nicht surjektiv sein.

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Vielleicht könnten Sie bitte erklären, was ich in den weiteren Schritten machen muss?

---

Wegen dim(Bild(u))=2 ist Rang=2 und je zwei lin.

unabhängige Vektoren aus dem Bild bilden eine Basis,

also z.B.

\(u\left(e_{1}\right)=-2 e_{1}+2 e_{3}, \quad u\left(e_{2}\right)=3 e_{2}\)

Für (iii) etwa so: Ergänze die Basis von Im(u) durch

\( \begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix}   \) zu einer

Basis von V. Jedes Element von v lässt sich damit

eindeutig darstellen.