Ist f eine auf ℝ stetige Funktion?

Question

Problem/Ansatz:

… Hallo ,kann mir bitte jemand helfen limX-0^+ für cos(1/2x) zu berechnen

Text erkannt:

ii) Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sei gegeben durch
$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \cos \left(\frac{1}{2 x}\right)-\sin (x), & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{array}\right.$
Ist $f$ eine auf $\mathbb{R}$ stetige Funktion?

Comments

Lass Dir doch cos(1/(2x)) Platten, damit Du einen Eindruck von der Lage bekommst.

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion $f(x)$ ist stetig im Punkt $x=0$, wenn gilt:$$\lim\limits_{x\to0}f(x)=f\left(\lim\limits_{x\to0}x\right)=f(0)$$Wir kennen $f(0)=0$ und die Funktion $f(x)=\cos\frac{1}{2x}-\sin x$:$$\lim\limits_{x\to0}\left(\cos\frac{1}{2x}-\sin x\right)=0$$

Die Funktion $(\cos\frac{1}{2x})$ konvergiert nicht, weil der Limes superior gleich $(+1)$ und der Limes inferior gleich $(-1)$ ist. Daher ist die Funktion $f(x)$ an der Stelle $x=0$ unstetig.

Answer 2

Wähle 2 Nullfolgen von x  so dass  bei 1/2xn,  cos(1/2xn)=0 und eine zweite mit cos(1/2xn)=1

Gruß lul