Mittelwertsatz der Integralrechnung

Question

Seien \( b>a \) und \( f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig. Zeigen Sie, dass dann die beiden folgenden Aussagen gelten.
(i)   Falls \( \int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0 \) gilt, so folgt die Existenz einer Zahl \( c \in[a, b] \) mit \( f(c)=0 \).
(ii)  Falls \( f(x) \geq \varepsilon>0 \) für alle \( x \in[a, b] \) und \( \int \limits_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0 \) gelten, so folgt dass \( g \) in \( [a, b] \) eine Nullstelle besitzt.

Könnte ich das hier irgendwie mittels Mittelwersatz für Integrale zeigen? Wenn ja wie genau weiß gerade nicht wie ich das angehen soll..

Answer 1

Hallo

ja der MWS sagt das schon beinahe, da ja |b-a|≠0 oder wie habt ihr ihn aufgeschrieben?

beim 2 ten Teil den erweiterten MWS benutzen .

Gruß lul

Comments

Sei \( J \subset \mathbb{R} \) nichttriviales Intervall, und sei \( f \in C^{0}(J) \).

(i) Dann existiert ein \( \xi \in J \), so dass
\( f(\xi)=\frac{1}{|J|} \int \limits_{J} f(x) \mathrm{d} x \)
gilt.

(ii) Sei \( p \in C^{0}(J) \) mit \( p \geq 0 \). Dann existiert ein \( \xi \in J \), so dass
\( \int \limits_{J} f(x) p(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int \limits_{J} p(x) \mathrm{d} x \)
gilt.

So ist er bei uns definiert. Weiß leider nicht wie ich das anwenden soll.

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Weiß leider nicht wie ich das anwenden soll.

Wenn Du eine Formel hast (Mittelwertsatz), in der \(\int_a^bf(x)dx\) vorkommt und die Aufgabe als Voraussetzung angibt \(\int_a^bf(x)dx=0\), dann finde ich Deine Bemerkung merkwürdig.

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sage ich dann einfach:

1/b-a \( \int\limits_{a}^{\ b} \) f(x) dx = 0 für b - a≠

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Hallo Torsten

Was ist jetzt , wen du statt ξ c schreibst im MWS?

wieso der unvollständige Kommentar?

lul

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Ja, und das im Mittelwertsatz (i) verwenden.

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Oh Gott jetzt verstehe ich es, Danke sehr stand da echt auf dem Schlauch, mein Fehler.

Und wie genau klappt das mit der zweiten Aussage?