Benutze die Taylor Reihe um Eulers Formel herzuleiten. Zeige dass: eix = cos(x) + i * sin(x)

Question

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(2 Punkte) Benutzen Sie eine Taylor Reihe um Euler's Formel herzuleiten. Gegeben ist die Taylor Reihe für $x \in \mathbb{R}$ :
$e^{x} \approx \sum \limits_{k=0}^{N} \frac{x^{k}}{k !},$
welche folgendermaßen erweitert werden kann:
$e^{\mathrm{i} x} \approx \sum \limits_{k=0}^{N} \frac{(\mathrm{i} x)^{k}}{k !}$
Zeigen Sie, dass $e^{\mathrm{i} x}=\cos (x)+\mathrm{i} \cdot \sin (x)$.

Problem/Ansatz:

Weiß wer wie ich das am besten zeige?

Answer 1

$e^{\mathrm{i} x} \approx \sum \limits_{k=0}^{4N+3} \frac{(\mathrm{i} x)^{k}}{k !}$  in vier Reihen (k≡0,1,2,3 mod 4) aufteilen:

$=\sum \limits_{k=0}^{N} \frac{(\mathrm{i} x)^{4k}}{(k) !} + \sum \limits_{k=0}^{N} \frac{(\mathrm{i} x)^{4k+1}}{(4k+1) !} + \sum \limits_{k=0}^{N} \frac{(\mathrm{i} x)^{4k+2}}{(4k+2) !} + \sum \limits_{k=0}^{N} \frac{(\mathrm{i} x)^{4k+3}}{(4k+3) !}$

und beachte i⁴=1  i^(4k+1)=i i^(4k+2)=-1   i^(4k+3)=-i

$= \sum \limits_{k=0}^{N} \frac{x^{4k}}{(4k) !} + \sum \limits_{k=0}^{N} i\cdot \frac{x^{4k+1}}{(4k+1) !}$
$+ \sum \limits_{k=0}^{N} -1\cdot \frac{x^{4k+2}}{(4k+2) !} + \sum \limits_{k=0}^{N} -i\cdot \frac{x^{4k+3}}{(4k+3) !}$

$= \sum \limits_{k=0}^{N} \frac{x^{4k}}{(4k) !} + \sum \limits_{k=0}^{N} -1\cdot \frac{x^{4k+2}}{(4k+2) !}$
$+ \sum \limits_{k=0}^{N} i\cdot \frac{x^{4k+1}}{(4k+1) !} + \sum \limits_{k=0}^{N} -i\cdot \frac{x^{4k+3}}{(4k+3) !}$

Ersetze 2k durch n und bekommst für N gegen unendlich

die sin und die cos-Reihe.

Answer 2

$e^{x}$ = $1$ + $x$ + $\frac{1}{2}$$x^{2}$ + $\frac{1}{6}$$x^{3}$ +$\frac{1}{24}$$x^{4}$ + $\frac{1}{120}$$x^{5}$ + ...

$sin x$ = $x$ -  $\frac{1}{6}$$x^{3}$ + $\frac{1}{120}$$x^{5}$ - ...

$cos x$ = $1$ - $\frac{1}{2}$$x^{2}$ + $\frac{1}{24}$$x^{4}$ - ...

siehe auch hier:

Die Taylorreihe für

$e^{i x}$ ist nach der Definition oben:

$e^{i x}$ = $1$ + $i x$ + $\frac{1}{2}$ $(ix)^{2}$ + $\frac{1}{6}$$(ix)^{3}$ +$\frac{1}{24}$$(ix)^{4}$ + $\frac{1}{120}$$(ix)^{5}$ + ...

= $1$ + $i x$+ $\frac{1}{2}$$i^{2} x^{2}$ + $\frac{1}{6}$$i^{3} x^{3}$ +$\frac{1}{24}$$i^{4} x^{4}$ +$\frac{1}{120}$$i^{5} x^{5}$ + ...

= $1$ + $i x$ - $\frac{1}{2}$$x^{2}$ - $\frac{1}{6}$$i x^{3}$ +$\frac{1}{24}$$x^{4}$ + $\frac{1}{120}$$x^{5}$ + ...

=  $1$ - $\frac{1}{2}$$x^{2}$ +$\frac{1}{24}$$x^{4}$ + $i x$  - $\frac{1}{6}$$i x^{3}$  + $\frac{1}{120}$$x^{5}$ + ...

=  $1$ - $\frac{1}{2}$$x^{2}$ + $\frac{1}{24}$$x^{4}$ + $i$ ( $x$  - $\frac{1}{6}$$x^{3}$  + $\frac{1}{120}$$x^{5}$ ) + ...

= $cos x + i sin x$

Wobei bei der zweiten Gleichheit Potenzgesetze angewendet worden sind, bei der dritten nach Termen mit i und ohne i geordnet worden sind.

Bei der vierten das i ausgeklammert wurde und schlussendlich die Taylorreihe von sin und cos angewendet wurde

Da $i^2$ = -1 , $i^3$=-i, $i^4$ = 1, $i^5$=i,...