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Aufgabe:

Bei einem Glücksspiel setzt man entweder 1 € (Variante 1) oder 2 € (Variante 2) und darf das Glücksrad (siehe Abbildung 1) drehen. Wenn „1“ gedreht wird, erhält man 1 € dazu, bei „0“ verliert man 1 €. Das Spiel ist beendet, wenn man 3 € gewonnen hat oder wenn man alles verloren hat, also 0 € hat.

Stellen Sie den beschriebenen Sachverhalt in einem mathematischen Modell aus der Linearen Algebra (Matrizen) dar


Problem/Ansatz:

Ich wüsste nur, wie man das in zwei Modellen darstellen würde aber nicht wie das in einem gehen soll. Falls jemand das versteht, gerne die Aufgabe bearbeiten. Danke :)

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der wenn man alles verloren hat, also 0 € hat.

Wieviel Geld hat man max. zur Verfügung?

Das ist nicht gegeben, so wie ich es verstanden habe, bestimme ich selbst über die Komplexität der Aufgabe.

Ich denke mal, dass dies also in meinem Ermessen liegt.


Nun soll es nicht all zu komplex werden, allerdings auch nicht zu leicht.

Bro ich hab eine Frage. Ist zwar lange her ab wollte fragen ob du die Aufgaben und Lösungen noch hast, denn ich habe meine mündliche Abitur Prüfung und hab genau die selbe Aufgabe und komme nicht weiter und wollte fragen ob du noch deine Lösungen als Hilfe hast. Wäre echt nett wenn du dich melden würdest.

Liebe Grüße

1 Antwort

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Das kann mit einer zeitdiskreten endlichen Markow-Kette modelliert werden.

\(M = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{4} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0\\ 0 & \frac{1}{4} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & 1 \end{pmatrix}\)

Die Spalten stehen für das Guthaben vor dem Drehen (0, 1, 2, 3).

Die Zeilen stehen für das Guthaben nach dem Drehen (0, 1, 2, 3).

Die Einträge geben die Wahrscheinlichkeiten für die entsprechende Änderung des Guthabens an. Zum Beispiel gibt der Eintrag \(\frac{1}{4}\) in Zeile drei, Spalte zwei an: Wenn vor dem Drehen ein Guthaben von 1 vorhanden war, dann ist mit Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{4}\) das Guthaben nach dem Drehen \(2\).

Die Wahrscheinlichkeit, in Variante 1 drei Euro zu gewinnen, ist die letzte Komponente von

        \(\lim\limits_{n\to\infty}M^n\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\).

Die Wahrscheinlichkeit, in Variante 2 drei Euro zu gewinnen, ist ist die letzte Komponente von

        \(\lim\limits_{n\to\infty}M^n\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}\).

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Die Matrix zeigt zwar das Guthaben an aber nicht den Gewinn, so hat man bei einem Guthaben von 3€ erst einen Gewinn von 2€, das Spiel geht also weiter. Man musste also das Guthaben mit dem Gewinn ersetzen oder die Matrix auf eine weitere Zeile und Spalte bzw. auf zwei bis drei weiteren Zeilen und Spalten bei der 2. Variante (Einsatz von 2€) erweitern, da man erst bei einem Guthaben von 4€ einem Gewinn von 3€ hat (Variante 1) und erst bei einem Guthaben von 6€ einem Gewinn von 4€ hat (Variante 2); hier 4€ da nur ein Einsatz von 2€ möglich ist und somit ein Gewinn von 3€ nicht möglich ist.

Hier kommt das nächste Fragezeichen: Die beiden Varianten sind unabhängig und inkompatibel voneinander, sprich man kann entweder nur 1€ oder nur 2€ setzen, man kann nicht erst 2€ setzen und dann 1€. Wäre es möglich die beiden Varianten in einer Rechnung auszurechnen? Die 4. Aufgabenstellen (Ermitteln Sie den Gewinn / Verlust der beiden Spielvarianten) verlangt zwar separate Rechnungen, aber es wäre gut zu wissen ob es auch zusammen gehen würde.

Desweiteren geht die Matrix davon aus, dass es keinen Verlust bei dem Spiel gibt und dass es nach einem Mal verlieren vorbei ist. Wäre es hier möglich die in der 1. Spalte und 1. Zeile 3/4 und in der 1. Spalte und 2. Zeile 1/4 einzusetzen und vor der 0 ein ≤ zusetzen, was ein Gewinn von 0€ symbolisiert bzw. einen Verlust? (Wie im Bild)A0551E4C-FA08-4A91-A4CE-B2E73620999C.jpeg

Text erkannt:

\begin{tabular}{llllll}
\multicolumn{8}{c}{ Gewinn Anzahl in \( € \)} \\
\( G \leq 0 \) & 1 & 2 & 3 \\
\( G \) & \( \frac{3}{4} \) & \( \frac{3}{4} \) & 0 & 0 \\
\( e \) & 7 & \( \frac{1}{4} \) & 0 & \( \frac{3}{4} \) & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\( n \) \\
\( n \) & 2 & 0 & \( \frac{1}{4} \) & 0 & 0 \\
\( A . \) \\
\( i \) \\
\( n \) & 0 & 0 & \( \frac{1}{4} \) & 1
\end{tabular}\( \quad M=\mid \begin{array}{lll}\frac{3}{4} & \frac{3}{4} & 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & \frac{3}{4} \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \\ t\end{array} \)

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