Flächen unter funktionsgraphen (integrale)

Question

Aufgabe:

Gesucht ist der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von \( \mathrm{f} \) und der \( \mathrm{x} \)-Achse über dem angegebenen Intervall I.

a) Skizzieren Sie zum besseren Überblick zunächst den Graphen.

b) \( f(x)=x^{3}-4 x ; I=[-3 ; 2]

c) \( f(x)=Wurzel{x} ; I=[0 ; 4]

d) \( f(x)=x^{4}-x^{3} ; I=[0 ; 2]

Answer 1

Hallo,

bestimme zunächst die Nullstellen:

\( x^{3}-4 x=0 \)
\( x\left(x^{2}-4\right)=0 \)
\( x_{1}=0 \quad x_{2}=-2 \quad x_{3}=2 \)

Bilde die Stammfunktion. Zur Kontrolle kannst du https://www.integralrechner.de/ verwenden.

\(F(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2\)

Bilde die Summe der Beträge der Einzelintegrale:

\( \begin{aligned} A &=\left|\int \limits_{-3}^{-2} f(x) d x\right|+\left|\int \limits_{-2}^{0} f(x) d x\right|+\left|\int \limits_{0}^{2} f(x) d x\right| \\ &=\left|\left[\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}\right]_{-3}^{-2}\right|+\left|\left[\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}\right]_{-2}^{0}\right|+\left|\left[\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}\right]_{0}^{2}\right| \\ &=\left|4-8-\left(\frac{81}{4}-18\right)\right|+|(4-8)|+|4-8| \\ &=6,25+4+4 \\ &=14,25 \end{aligned} \)

Bei den anderen beiden Aufgaben gehst du ebenso vor.

Gruß, Silvia