Hallo,
ich benenne erstmal die zu zeigenden Gleichungen: ∣∣f∣∣=(1)sup{∣∣x∣∣V∣∣f(x)∣∣W∣x∈V\{0}}=(2)sup{∣∣f(x)∣∣W∣x∈V,∣∣x∣∣V=1}=(3)sup{∣∣f(x)∣∣W∣x∈V,∣∣x∣∣V≤1}
Man sollte im folgenden wahrscheinlich noch V={0} annehmen.
Zu (1): Es gilt ∣∣f∣∣=inf{c≥0∣∀x∈V : ∣∣f(x)∣∣W≤c∣∣x∣∣V}=inf{c≥0∣∀x∈V\{0} : ∣∣x∣∣V∣∣f(x)∣∣W≤c}=sup{∣∣x∣∣V∣∣f(x)∣∣W∣x∈V\{0}}= : s1
Der Schritt von Zeile 1 zu 2 sollte eigentlich klar sein. Wenn du Probleme mit inf hast stelle sicher, dass er dir wirklich klar ist.
Der Schritt von Zeile 2 zu 3 muss genauer begründet werden. Das Infimum ist ja die größte untere Schranke. Zeige also, dass s1 eine untere Schranke für die Menge ist und jede Zahl a>s1 keine untere Schranke mehr ist.
Zu (2):
Es ist ==sup{∣∣x∣∣V∣∣f(x)∣∣W∣x∈V\{0}}sup{∣∣λx∣∣V∣∣f(λx)∣∣W∣x∈V,∣∣x∣∣V=1,λ>0}sup{∣∣f(x)∣∣W∣x∈V,∣∣x∣∣V=1}
Das hat alles nicht viel mit dem Supremum zu tun, sondern damit, dass die Mengen gleich sind.
Zu (3): Zeige, dass es für jedes x∈V mit ∣∣x∣∣V≤1 ein y∈V mit ∣∣y∣∣=1 gibt, sodass ∣∣f(x)∣∣≤∣∣f(y)∣∣. Dann sollte die Gleichheit auch klar sein.
Vielleicht gibt es elegantere Wege eine der Gleichheiten zu zeigen, ich habe hier nur den "straight-forward" Weg aufgeschrieben. Der ist aber sicherlich ganz gut um zu lernen, wie man mit sup und inf arbeitet.
Ich hoffe ich habe beim aufschreiben keinen Fehler gemacht.
LG Dojima