Der Tomatensetzling, das Integral und die Integrationskonstante

Question

Aufgabe:

Leiten Sie die Funktion h, die die Höhe der Pflanze erfasst her.

Es geht um ein Tomatensetzling der beim einsetzen eine Höhe von 5cm hat. Seine Höhe nimmt mit der Geschwindigkeit v(t) = -0,1t hoch3 + t hoch2 zu.

(t in Wochen, v in cm/Woche).

Problem/Ansatz:

Answer 1

Bilde die Stammfunktion und ergänze als Integrationskonstante die 5.

Comments

Meinst du dann für das t die 5 einsetzen?

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Weil die Ableitung bei der Konstante ist null

(-0,1•t³+t²=0)

Und in das t soll dann die 5?

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Nein! Setze

C=5                         .

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Du sollst nicht ableiten, sondern aufleiten, also die Stammfunktion V(t) von v(t) bilden.

$V(t)=-\frac{1}{40}t^4+\frac{1}{3}t^3+C$

Für C setzt du die 5 ein.

Gruß, Silvia

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Wie kommst du auf die Funktion Silvia.

Liebe Grüße

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$v(t)=-0,1t^3+t^2$

Zum Aufleiten werden die Zahlen vor t durch die nächsthöhere Potenz von t geteilt und der Exponent wird entsprechend um 1 erhöht.

Erster Summand:

$-0,1t^3$ - Die nächsthöhere Potenz ist 4, also -0,1 : 4 = $-\frac{1}{40}$ oder -0,025.

Also ist der 1. Summand der Stammfunktion $-\frac{1}{40}t^4$. Wenn du das ableitest, erhältst du wieder $-0,1t^3$.

So machst du das auch mit dem 2. Summanden. Die nächsthöhere Potenz ist drei, also wird 1 durch 3 geteilt.

+ C kommt dazu, weil du bisher eine mögliche Stammfunktion gebildet hast. Beim Ableiten fallen die Konstanten weg und daher kann C für jede beliebige Zahl stehen, hier aber für 5.

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Silvia du bist ein Schatz vielen Dank wirklich kann ich mich an dich wenden wenn ich weitere Fragen hab?

Liebe Grüße

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an mich oder die anderen, denn hier sind noch mehr Schätze unterwegs ;-)

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Alles klar das heißt die oben genannte Funktion ist die Stammfunktion oder ist das schon die Funktion für h?

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Ja, die Stammfunktion ist h.

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Ich soll danach anhand einer selbst gemalten Zeichnung die funktionsgraphen von V und h erläutern hast du da eine Idee wie ich da vorgehen kann und wie das aussehen könnte?

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Wachstumsgeschwindigkeit v(t) [in cm / Woche] blau und Staudenhöhe h(t) = $\int$ v(t) dt [in cm] rot. Das Wachstum dauert 10 Wochen.

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Danke dir ☺️ ist das dann die Dauer der Wachstumsphase? 10 Wochen?? damit wäre dann auch meine Aufgabe 3 weg vom Fenster ❤️ Hab dann nur noch zu rechnen, Was die maximale Höhe der Pflanze ist und ich muss bestimmen wie hoch die pflanze ist zum Zeitpunkt des schnellsten Wachstums

Liebe Grüße mein Bester

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Und welches Programm hast du dafür benutzt?

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Du kannst beispielsweise Geogebra verwenden. Damit sieht das so aus:

oder so:

 

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Irgendwie kommt bei mir andauernd was anderes raus was gibt ihr den ein gebe die Stammfunktion ein und die -0,1t³+t²

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Das habe ich auch gemacht. Was hast du verwendet, Geogebra?

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Ja verwende Geogebra Grafikrechner auf meinem Handy nur irgendwie kommen da andere Graphen raus

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Probiere es mal, indem du t durch x ersetzt.

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Bei mir sieht es so aus auch wenn ich Zoome kommt es nicht hin wie bei euch und das ist der wo ich t ausgetauscht habe mit x

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Ich weiß nicht, wie das mit dem Handy funktioniert, aber am PC mit

Rechtsklick in das Koordintensystem, dann erscheint

und dann z.B. auf 1:10 klicken.

Answer 2

v(t) = -0,1*t ³ + t ²

Stammfunktion
S = -0.1 * t⁴ / 4 + t³ / 3

Integralfunktion zwischen 0 und t

I ( t ) = -0.1 * t⁴ / 4 + t³ / 3 minus (  -0.1 * 0⁴ / 4 + 0³ / 3 )

h ( t ) = -0.1 * t⁴ / 4 + t³ / 3 + 5

Comments

Was ist mit dem / Zeichen gemeint? Geht das genauer? Blicke nicht durch leider.

Liebe Grüße

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"Was ist mit dem / Zeichen gemeint?"

8/4=$\frac{8}{4}=2$

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Hallo Rille,
die Aufgabe ist relativ einfach.
Siehe meine Antwort.

Wieso willst du unbedingt ein
Matheprogramm verwenden ?
Ich habe den Eindruck es verwirrt mehr
als es nutzt.

Falls du Fragen hast dann frage nach.

mfg Georg

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Das Problem ist ich brauche eine Darstellung davon mein Lehrer würde gern sowas haben und es steht so in der Aufgabe . Die Aufgabe ist fast fertig. Ich brauche nur noch folgendes.

C) bestimmen sie die Dauer der Wachstumsphase.

(Das müssten aber 10 Wochen sein.)

D) dann die Maximale Höhe der Pflanze berechnen

e) wie hoch die Pflanze des schnellsten Wachstums sein wird.

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C) Ja, nach 10 Wochen ist das Wachstum wieder bei 0, Schnittpunkt mit der x-Achse

D) Maximale Höhe der Pflanze ist der Hochpunkt von h

E) Höhe bei schnellstem Wachstum - Zeitpunkt = Hochpunkt von v bzw. Wendepunkt von h = 54,38

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C) bestimmen sie die Dauer der Wachstumsphase.

Die Wachstumsphase ist dann beendet
wenn das Wachstum null ist
v ( t ) = -0,1 * t ³ + t² = 0
t ² * ( -0,1 * t + 1 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
t² = 0 => t = 0
und
-0,1 * t + 1 = 0
t = 10
Nach 10 Wochen ist die Wachstums-
phase beendet

(Das müssten aber 10 Wochen sein.)

D) dann die Maximale Höhe der Pflanze berechnen
Wenn die Pflanze nicht mehr weiter
wächst ist die größte Höhe erreicht
h ( 10 ) = -0.1 * 10⁴ / 4 + t³ / 3 + 5

h ( 10 ) = 88 1/3 cm

e) wie hoch die Pflanze des schnellsten Wachstums sein wird.

Das schnellste Wachstum ist der
Wendepunkt

2.Ableitung
h ´´( t ) = -t² * 0.3  + 2 * t
Wendepunkt
-t² * 0.3  + 2 * t = 0
t = 6  2/3 Wochen
h ( 6 2/3 ) = 54.38 cm

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Vielen Dank dann hab ich meine erste Aufgabe komplett fertig falls ich weitere Fragen Habe zu der 20ten Aufgabe melde ich mich.

Wäre nur gut wenn einer alle Ableitungen nennen könnte damit ich es mir schön aufschreiben kann danke :~)

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Höhe
h ( t ) =  - t⁴ * 0.025 + 1/3 * t³  + 5
1Ableitung ( Wachstumsgeschwindigkeit )
h ´( t ) = - 0,1 * t ³ + t ²
2.Ableitung ( Krümmung, für den Wendepunkt )
h´´ (t ) = - 0.3 * t² + 2 * t

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Moin nochmal, ich habe mir grade nochmal Aufgabe c,d,e angeschaut ich verstehe die Rechnungen leider nicht. Gut ich kann es ablesen anhand der Grafik aber bei der Rechnung Blick ich einfach nicht durch.

Liebe Grüße

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v beschreibt das Wachstum der Pflanze, h die Höhe

c - Dauer der Wachstumsphase, hier sind die Nullstellen von v(t) zu berechnen.

$-0,1 t^{3}+t^{2}=0$
$t^{2}(-0,1 t+1)=0$
$t_1=0 \vee\quad -0,1 t+1=0\Rightarrow -0,1 t=-1\Rightarrow t_2=10$

d - maximale Höhe der Pflanze - Wie Georg schon schrieb, ist die maximale Höhe erreicht, sobald die Pflanze nicht mehr wächst. Dafür setzt du 10 in h(t) ein.

$-\frac{1}{40} \cdot 10^{4}+\frac{1}{3} \cdot 10^{3}+5$

$=-\frac{10000}{40}+\frac{1000}{3}+5$

$=\frac{265}{3}=88 \frac{1}{3}$

e - Höhe der Pflanze, wenn sie am schnellsten wächst, ist am Wendepunkt von h.

$h^{\prime}=v(t)$

$h^{\prime \prime}=v^{\prime}(x)=-0,3 t^{2}+2 t$

$-0, 3 t^{2}+2 t=0$

$=t\cdot (-0,3 t+2)=0$

$t_{1}=0 \quad \vee \quad -0,3 t+2=0 \Rightarrow t_{2}=\frac{20}{3}$

$\begin{aligned} h\left(\frac{20}{3}\right) &=-\frac{1}{40} \cdot\left(\frac{20}{3}\right)^{4}+\frac{1}{3} \cdot\left(\frac{20}{3}\right)^{3}+5 \\\\ &=-\frac{1}{40} \cdot \frac{160000}{81}+\frac{1}{3} \cdot \frac{8000}{27}+5 \\\\ &=-\frac{4000}{81}+\frac{8000}{81}+5 \\ \\&=\frac{4405}{81}=54,38 \end{aligned}$

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Silvia vielen Dank so ist es anschaulicher nur wie bist du auf 4000/81 + 8000/81 gekommen? Und bei e wie auf 20/3 die Rechnung ist noch kompliziert ansonsten Top :)

Liebe Grüße

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4000/81 + 8000/81 gekommen

Multiplikation von Brüchen: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner

$-0,3t+2=0\quad |-2\\ -0,3t=-2\quad |:(-0,3)\\ t=\frac{20}{3}$

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Ah ok gecheckt Top :)) eins noch woran erkennt man bei dem Bild das es 49,38 sind? Muss man da extra was eingeben bin am Pc grade kenne mich nicht mit geogebra aus

Liebe Grüße

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So habe ich es eingegeben:

integral, Klammer auf...

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Ok hab jetzt das selbe eingegeben aber bei dir steht 49.38 und bei mir 33.33 und das kann ich nicht ändern

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Kannst du mir ein Bild von deiner Eingabe schicken?

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Es ist die selbe die du hast :( hab aus Verzweiflung den Laptop ausgemacht

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Hier ist der komplette Rechengang

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Cool vielen Dank ich hab die Aufgabe ist wohl beendet. Ich hab noch eine Zweite Frage gepostet da könnt ihr mir vielleicht auch behilflich sein.

Liebe Grüße