Erste Ableitung von f(x) = xn

Question

Auf meinem wöchentlichen Übungsblatt für die Uni ist eine Aufgabe, dass per Induktion bewiesen werden soll, dass für

f(x) = $x^{n}$ die erste Ableitung f'(x) = $nx^{x-1}$ gilt.

Denke die Frage ist offenkundig. Liegts an mir bzw. kann irgendjemand damit was anfangen?
Die erste Ableitung von $x^{n}$ ist $nx^{n-1}$ und nicht $nx^{x-1}$ oder liege ich da falsch und es lässt sich tatsächlich doch so schreiben?

Ansonsten hat sich hier wohl ein Flüchtigkeitsfehler eingeschlichen oder nicht?

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Funktionen $f_n(x)=x^n$ mit $n\in\mathbb N$.

Wir zeigen zuerst die Differenzierbarkeit durch vollständige Induktion...

Verankerung bei $n=1$:

Hier ist $f_1(x)=x$ und der Grenzwert des Differenzenquotienten lautet:$$f_1'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f_1(x+h)-f_1(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{h}{h}=\lim\limits_{h\to0}(1)=1$$Also ist $f_1(x)$ differenzierbar und es gilt $f_1'(x)=1$.

Induktionsschritt von $n$ auf $n+1$:

Wir haben bereits gezeigt, dass $f_n(x)=x^n$ differenzierbar ist und betrachten nun:$$f'_{n+1}(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f_{n+1}(x+h)-f_{n+1}(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^{n+1}-x^{n+1}}{h}$$$$\phantom{f'_{n+1}(x)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)\cdot(x+h)^{n}-x\cdot x^n}{h}$$$$\phantom{f'_{n+1}(x)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{x\cdot(x+h)^{n}-x\cdot x^n+h\cdot(x+h)^{n}}{h}$$$$\phantom{f'_{n+1}(x)}=\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{x\cdot(x+h)^{n}-x\cdot x^n}{h}+\frac{h\cdot(x+h)^{n}}{h}\right)$$$$\phantom{f'_{n+1}(x)}=\lim\limits_{h\to0}\left(x\cdot\frac{(x+h)^{n}-x^n}{h}+(x+h)^{n}\right)$$$$\phantom{f'_{n+1}(x)}=x\cdot\underbrace{\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^{n}-x^n}{h}}_{=f'_n(x)\quad\text{nach Ind. Vor.}}+\lim\limits_{h\to0}(x+h)^{n}=x\cdot f'_n(x)+x^n$$Damit sind also alle $f_n(x)$ differenzierbar und wir haben gefunden:$$f'_{n+1}(x)=x\cdot f'_n(x)+x^n\quad;\quad f'_1(x)=1$$

Nun suchen wir noch eine geschlossene Formel für diese Rekursionsgleichung...

Wir schreiben uns die ersten Terme auf:$$f'_1(x)=1\quad;\quad f'_2(x)=2x\quad;\quad f'_3(x)=3x^2\quad;\quad f'_4(x)=4x^3$$Das führt uns zu der Vermutung:$$f'_n(x)=nx^{n-1}\quad;\quad n\in\mathbb N$$Auch das prüfen wir durch vollständige Induktion nach. Die Verankerung bei $n=1$ ist klar, bleibt der Induktionsschritt:$$f'_{n+1}(x)=x\cdot f'_n(x)+x^n\stackrel{(\text{Ind.Vor.})}{=}x\cdot nx^{n-1}+x^n=nx^{n}+x^n=(n+1)\cdot x^n\quad\checkmark$$

Answer 2

Es gilt natürlich

f'(x) = n * x^{n - 1}

und das sollst du vermutlich z.B. mittels Differenzialquotienten zeigen.

Comments

Oder auch mit Induktion und Produktregel.

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Genau wir sollen es mit Induktion und Produktregel zeigen :)

Danke euch beiden!

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Mit Produktregel und Induktion ist dann ja noch viel einfacher.