Wie bestimmt man die Punkte des Kernes einer Matrix?

Question

Aufgabe:

B = $\begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 & 0 \\ -1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Welche Punkte gehören zum Kern(B)? und gebe Dimension und Basis

Problem/Ansatz:

Wie findet man die Punkte heraus und schließt damit auf Dimension und Basis?

Answer 1

Aloha :)

Der Kern einer Abbildung bzw. Matrix besteht aus allen Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Daher löse das Gleichungssystem:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline 1/2 & - 1/2 & 0 & 0 & \cdot2\\-1/2 & 1/2 & 0 & 0 & +\text{Gleichung 1}\\0 & 0 & 1 & 0 &\\\hline 1 & -1 & 0 & 0 & \Rightarrow x-y=0\\0 & 0 & 0 & 0 & \Rightarrow 0=0\;\checkmark\\0 & 0 & 1 & 0 &\Rightarrow z=0\end{array}$$Damit ein Vektor zum Kern gehört, muss also $x=y$ und $z=0$ gelten:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\x\\0\end{pmatrix}=x\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$$Eine Basis des Kerns ist also:$$\operatorname{Kern}(B)=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$$Der Kern entält einen Basisvektor, also ist seine Dimension gleich $1$.