Handelt es sich bei (Un, ◦) um eine Untergruppe?

Question

Aufgabe:

Es sei (S_n, ◦) die Permutationsgruppe über der Menge A_n = {1, 2, ..., n}.
1.) Wir definieren die Teilmenge U_n := {σ ∈ S_n| σ(1) = 1}.

Problem:

Handelt es sich bei (U_n, ◦) um eine Untergruppe?

Answer 1

Ich denke ja; denn

1. U_n ist abgeschlossen gegenüber o.

Begr.: Seien f,g ∈U_n. Dann gilt  (fog)(1)=f(g(1))=f(1) weil g ∈U_n.

                                                                  = 1   weil f ∈Un.

2. id ∈ U_n. Denn id(1)=1 .

3. Zu jedem f ∈Un ist auch f^(-1) ∈Un.

Begr: f ∈Un ==>  f(1)=1  ==>   f^(-1)(f(1)) = f^(-1)(1)

                                  ==>  (f^(-1)*f)(1)) = f^(-1)(1)

                                  ==>  id(1) = f^(-1)(1)

                                    ==> 1= f^(-1)(1)

                                    ==>  f^(-1) ∈Un.