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Aufgabe:

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Ein Martini-Glas mit Höhe \( 5 \mathrm{~cm} \) und Radius \( 4 \mathrm{~cm} \) ist komplett mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Dichte der Flüssigkeit beträgt \( \varrho(\vec{x})=e^{-z / \mathrm{cm}} \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3} \). Bestimmen Sie die Masse der Flüssigkeit.

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Problem/Ansatz:

Wie kann man die Masse mit Integralen bestimmen?

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Aloha :)

Du benötigst zuerst einen Ortsvektor \(\vec r\), der vom Ursprung ausgehend, das Volumen abtastet. Wegen der Symmetrie der Situation bieten sich dazu Zylinderkoordinaten an. Dabei müssen wir beachten, dass der maximale senkrechte Abstand \(r_{\text{max}}\) zur \(z\)-Achse und die Höhe \(z\) über \(\left(r_{\text{max}}=\frac45z\right)\) miteinader verknüft sind:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in\left[0;\frac45z\right]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in\left[0;5\right]\quad;\quad dV=r\,dr\,d\varphi\,dz$$

Damit kannst du das Integral für die Masse formulieren:$$M=\int\limits_V\rho(\vec r)\,dV=\int\limits_{r=0}^{4z/5}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^5e^{-z}\,r\,dr\,d\varphi\,dz=2\pi\int\limits_{z=0}^5\left(e^{-z}\int\limits_{r=0}^{4z/5}r\,dr\right)dz$$$$\phantom{M}=2\pi\int\limits_{z=0}^5e^{-z}\left[\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^{4z/5}dz=\frac{16}{25}\pi\int\limits_{z=0}^5z^2e^{-z}\,dz=\frac{16}{25}\pi\left[-e^{-z}(z^2+2z+2)\right]_{z=0}^5$$$$\phantom{M}=\frac{16}{25}\pi\left(-\frac{37}{e^5}+2\right)=\frac{16}{25}\pi\left(2-\frac{37}{e^5}\right)\approx3,52\,\mathrm g$$

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Vielen Dank Tschakabumba, Sie sind der Beste und helfen mir enorm für meine nächste Mathe-Prüfung. Könnten Sie sich eventuell einmal meine letzte Aufgabe zum Massenträgheitsmoment anschauen? Hab da leider die falsche Lösung rausbekommen.

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hallo

M=∫ρdV

du kannst in Kreisscheiben der Höhe dz einteilen deren Masse bestimmen und integrieren oder eben dV=dxdydz und geeignete Grenzen  dazu r(z) aus h und r bestimmen,

Grus lul

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