Zeigen dass die Umkehrabbildung phi^-1 : W->V ebenfalls linear ist

Question

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Aufgabe 52
Seien \( V, W \) zwei \( K \)-Vektorräume und \( \varphi: V \rightarrow W \) eine bijektive lineare Abbildung. Zeigen Sie:
(i) Die Umkehrabbildung \( \varphi^{-1}: W \rightarrow V \) ist ebenfalls linear.
(ii) Für \( V \) und \( W \) endlich erzeugt gilt \( \operatorname{dim}_{K}(V)=\operatorname{dim}_{K}(W) \).

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

wie weiß ich dass die Umkehr funktion auch linear ist?

Comments

Hallo

benutze bijektiv also injektiv und surjektiv  und die Linearität von phi

lul

Answer 1

Du musst Additivität und Homogenität prüfen.

Das folgt aus den entsprechenden Eigenschaften von f, etwa so:

Seien u,v∈W . Da f surjektiv ist, gibt es x,y ∈ V mit

f(x)=u und f(y)=v und also wegen Additivität von f

                   f(x+y)=u+v

==>   f^(-1) ( u+v) = x+y = f^(-1)u + f^(-1)(v).

Homogenität entsprechend.