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Aufgabe 10.2 Sei \( c \) ein Berührpunkt von \( D \subset \mathbb{R}^{n} \) und \( f: D \rightarrow \mathbb{R}^{m} \). Beweisen Sie, dass

i. \( \lim \limits_{x \rightarrow c} f(x)=v \Leftrightarrow \) für jedes \( \varepsilon>0 \) ein \( \delta>0 \) existiert, sodass \( \|f(x)-c\|<\varepsilon \) für alle \( x \in D \) mit \( \|x-c\|<\delta \)
(3 Punkte)

Hänge bei dieser Aufgabe fest, wobei sie eigentlich nicht so schwer sein kann. Ich weiss nicht wie ich das genau zeigen soll, da ich die Funktionswerte von f(x) nicht kenne. Hilfe...

LG

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Hallo,

zuerst mal sollte es in der Aufgabe \(||f(x)-v||<\varepsilon\) heißen, sonst macht das alles wenig Sinn.

Die rechte Seite von \(\Leftrightarrow\) wird auch oft als Definition von \(\lim_{x\to c}f(x)=v\) verwendet. Ich denke also ihr habt folgende Definition von \(\lim_{x\to c}f(x)=v\):

Für jede Folge \((x_n)_n\) in \(D\) mit \(x_n\to c\) gilt \(f(x_n)\to v\).

Dann bleiben also die beiden Richtungen zu zeigen.

Zu "\(\Leftarrow\)" will ich erstmal nicht viel sagen. Sei \((x_n)_n\) eine beliebige Folge in \(D\) mit \(x_n\to c\). Schreibe dir auf, was es heißt, dass \(x_n\to c\). Schreibe dir dann auf, was es heißt, dass \(f(x_n)\to v\) (das willst du ja zeigen). Dann sieht man eigentlich ganz gut, wie die Voraussetzung anzuwenden ist.

Zu "\(\Rightarrow\): Das würde ich per Widerspruch machen. Sei \(\lim_{x\to c}f(x)=v\). Angenommen die rechte Seite gilt nicht, dann gibt es ein \(\varepsilon>0\) sodass für alle \(\delta>0\) ein \(x_\delta\in D\) existiert mit \(||x_\delta-c||<\delta\) aber \(||f(x_\delta)-v||\geq\varepsilon\). Wir können also eine Folge \((x_n)_n\) in \(D\) wählen mit \(||x_n-c||<\frac{1}{n}\) und \(||f(x_n)-v||\geq\varepsilon\). Das ist ein Widerspruch (warum?).


Ich hoffe das hilft erstmal.

LG Dojima

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