Aufgabe:
Grenzwertbetrachtung
\(\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow \pi} \frac{1+\cos x}{(x-\pi)^{2}} \)
Problem/Ansatz:
Ich habe leider keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe angehen soll.
Kennst du die Hospital-Regel?
Ja, aber der Zähler strebt doch nach einem endlichen Wert, dann darf ich diese Regel doch nicht anwenden oder?
Gegen welchen endlichen Wert strebt denn der Zähler und der Nenner?
Hatte einen Denkfehler. "-1 ist die Antwort, wodurch der Zähler ebenfalls 0 wird, vielen dank
Hallo,
Lösung durch Regel von L'Hospital , falls bekannt.(Ausdruck 0/0)
Zähler und Nenner getrennt ableiten:(2 Mal), solange bis es nicht mehr den Ausdruck 0/0 gibt.
=lim(x-->π) (-sin(x) /(2x-2π) ----->0/0
=lim(x-->π) (-cos(x) /(2) ----->1/2
Lösung: 1/2
Lösung mit Taylor-Reihe:
Die Taylor-Reihe von \(\cos(x)\) mit Entwicklungspunkt \(\pi\) ist
\(\cos(x)=-1+\frac{1}{2}(x-\pi)^2\pm(x-\pi)^4\cdot h(x)\) mit einer in \(\pi\) stetigen
Funktion \(h\).
Das liefert \(\frac{1+\cos(x)}{(x-\pi)^2}=\frac{1}{2}\pm(x-\pi)^2h(x)\rightarrow \frac{1}{2}\)
für \(x\rightarrow \pi\).
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