Gradientenabstiegsverfahren Rechenweg unklar

Question

Wir gehen nun davon aus, dass zu einer Iteration x ∈ X eine Abstiegsrichtung d ∈ ℝⁿ mit
∥d∥ = 1 vorliegt.

Es sei
f(x) = 3a² + 2b² − sin(π·a)b² − ab,

∇f(x) = \( \begin{pmatrix} (6a − π cos(π·a)b² − b)\\(4b − 2 sin(π·a)b − a) \end{pmatrix} \)

           

Angenommen, x = (1/2, 0), dann ist die Richtung des steilsten Abstiegs gegeben durch

d = − \( \frac{∇f(0)}{∥∇f(0)∥} \) = \( \frac{1}{√37} \) \( \begin{pmatrix} -6\\1 \end{pmatrix} \)

Ich habe mehrfach versucht dieses Beispiel aus dem Skript nachzurechnen, komme aber nie auf das angegebene Erbegnis für d, könnte mir jemand bitte den Rechenweg zeigen?

Answer 1

Aloha :)

$$f(a,b)=3a^2+2b^2-\sin(\pi a)\,b^2-ab$$$$\frac{\partial f(a,b)}{\partial a}=6a+0-\cos(\pi a)\,\pi\,b^2-b\implies\frac{\partial f(\frac12;0)}{\partial a}=6\cdot\frac12-\cos(\frac\pi2)\,\pi\cdot0^2-0=3$$$$\frac{\partial f(a,b)}{\partial b}=0+4b-\sin(\pi a)\,2b-a\;\;\,\implies\frac{\partial f(\frac12;0)}{\partial b}=4\cdot0-\sin(\frac\pi2)\cdot2\cdot0-\frac12=-\frac12$$Daher ist:$$\vec\nabla f(\frac12;0)=\binom{3}{-\frac12}\quad\implies$$Da \(\|\vec d\|=1\) sein soll, müssen wir noch normieren:$$\vec d=-\frac{\vec\nabla f(\frac12;0)}{\left|\vec\nabla f(\frac12;0)\right|}=-\frac{\binom{3}{-\frac12}}{\left\|\binom{3}{-\frac12}\right\|}=\frac{\binom{-3}{\frac12}}{\sqrt{3^2+\left(\frac12\right)^2}}=\frac{\frac12\binom{-6}{1}}{\sqrt{9+\frac14}}=\frac{\binom{-6}{1}}{2\sqrt{9+\frac14}}=\frac{\binom{-6}{1}}{\sqrt{4}\cdot\sqrt{9+\frac14}}$$$$\phantom{\vec d}=\frac{\binom{-6}{1}}{\sqrt{4\cdot\left(9+\frac14\right)}}=\frac{\binom{-6}{1}}{\sqrt{37}}=\frac{1}{\sqrt{37}}\binom{6}{-1}$$

Comments

Dankeschön erstmal, hast du an der Stelle

\( \frac{\begin{pmatrix} - 3\\\frac{1}{2} \end{pmatrix}}{\sqrt{3²+\frac{1}{2}}²} \) = \( \frac{\frac{1}{2}\begin{pmatrix} - 6\\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{9+\frac{1}{4}}} \)

den oberen Vektor mit 2 erweitert um den Bruch aufzulösen oder hatte das noch andere Gründe? An der Stelle bin ich nämlich immer gescheitert. Und wie genau kommt die 2 im Schritt danach in den Nenner, wird der Bruch da einfach aufgeteilt?

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Ich wollte "den Bruch auflösen" und das Ergebnis in die Form bringen, die du angegeben hast.