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Guten Morgen :-)
ich habe Probleme die Position und Art (Minimum und Maximum) der lokalen Extrema von folgenden Funktionen zu bestimmen, es wäre super wenn mir einer von euch helfen kann.

1. f(x,y)=x^2-2xy+y^3+1

2. f(x,y,z)=x2+y4+z2

3. f(x,y)=√1-x^2-y^2
Als erstes muss man doch die partielle Ableitung bilden oder? Und dann nach Hess weiter machen, aber da stockt es bei mir. 
Ich freue mich über Hilfe von euch :-)

von

f(x,y)=√1-x^2-y^2
oder
f(x,y)=√ ( 1-x^2-y^2)

?

Also in der Aufgabe steht es ohne Klammern also so: \( \sqrt{1-x^2-y^2} \)

weil der Wurzeloberstrich über dem ganzen Term
ist. Ist dir ein langer Oberstrich nicht möglich
mußt du Klammern setzen.
Fehlende Klammerung ist der Hauptfehler
in Fragetexten.

1 Antwort

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Beste Antwort

Als erstes muss man doch die partielle Ableitung bilden oder?

f(x,y)=x^2-2xy+y^3+1

Ja, bei 1. also

fx = 2x - 2y =0   und fy = -2x + 2y^2 = 0

 <=>      y = x und     -2x + 2x^2 = 0

 <=>      y = x und    ( x=0 oder x=1)

Also gibt es zwei Punkte, in denen Extrema sein könnten

  (0;0)   und   ( 1 ; 1 )

Jetzt an diesen Punkten die Hessematrix betrachten:

mit fxx = 2 und fyy=4y und fxy = fyx = -2 also ist die erste Hessematrix

      2      -2
     -2       0

Die ist neg. definit, also bei (0;0) ein Maximum.

Die zweite ist

      2      -2
     -2       4

Die ist pos. definit, also bei (1;1) ein Minimum.






von 170 k

Vielen Dank. Weist du auch wie das mit der zweiten Funktion geht, wenn ich x,y und z habe? Wie muss man dabei die Hess Matrix anlegen?

alle möglichen 2. Ableitungen bilden, also

für die erste Zeile

fxx,  fxy  fxz

und für die zweite

fyx (das ist aber gleich fxy ) fyy und fyz

etc

Ich habe jetzt die Partielle Ableitung wie folgt:

xx(x,y,z) = 2x               f´´(x,y,z) = 2

xy(x,y,z) = 4y3              f´´(x,y,z) = 12y2

f´xz(x,y,z) = 2x                              f´´ (x,y,z) = 2

Ist das so korrekt? Ich glaube da ist noch was ziemlich falsch.

Wohl eher so:

f 'x (x,yz)=2x   also

 f ' 'xx(x,y,z)=2 und  f ' 'xy(x,y,z)=0 weil kein y mehr da ebenso   f ' 'xz(x,y,z)=0

f 'y(x,y,z)=4y^3 ==>  f ' 'yy(x,y,z)=12y^2 und  f ' 'yx(x,y,z)= f ' 'yz(x,y,z)=0 etc.

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