Aufgabe:
Untersuchen Sie jeweils, ob es offene Umgebungen \( U_{1} \subset \mathbb{R} \) von \( 0, U_{2} \subset \mathbb{R}^{2} \) von 0 und zwei Funktionen \( y, z: U_{1} \rightarrow \mathbb{R} \) gibt, sodass für alle \( \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in U_{1} \times U_{2} \) die Gleichung \( f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0 \) genau dann gilt, wenn \( \left(x_{2}, x_{3}\right)=\left(y\left(x_{1}\right), z\left(x_{1}\right)\right) \).
\( f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}-\sin x_{3} \\ e^{x_{3}}-x_{1}-x_{2}^{3}-1\end{array}\right), x \in \mathbb{R}^{3} \)
Untersuchen Sie ggf. auch, ob für \( y \) oder \( z \) ein lokales Maximum oder Minimum bei \( x_{1}=0 \) vorliegt.
Problem/Ansatz:
Bisher hab mal versucht die nötigen Voraussetzungen für den Satz über implizite Funktionen zu zeigen:
Hier gilt:
\( n=3 \) und \( n=2 \)
Def.: \( x_{0}=0 \) an \( \left(y_{0}, z_{0}\right)=(0,0) \)
Prüfen Voraussetzungen im Satz über implizite Funktionen:
\( f: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\\ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}-\sin x_{3} \\ e^{x_{3}}-x_{1}-x_{2}^{3}-1\end{array}\right), x \in \mathbb{R}^{3} \)
- \(f \in C^{1}\left(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{2}\right) \), da Polynome unendl. stetig diffbar sind
- \( f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=f(0,0,0)=0, \operatorname{da}(0,0,0) \) Lsg. des GLS ist
- Die Matrix
\( D_{\left(x_{1}, x_{2}\right)} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\frac{\partial\left(f_{1}, f_{2}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}\right)}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & -3 x_{n}^{2}\end{array}\right) \) ist invertierbar,
denn \( \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & -3 x_{2}^{2}\end{array}\right)=-3 x_{2}^{2}+1 \neq 0 \) für \( x_{1}=0 \) und \( x_{2}=0 \).
Also gibt es \( U_{1} \subset \mathbb{R} \) offen mit \( x_{0} \), in \( U_{2} \subset R^{2} \) offen mit \( \left(x_{0}, z_{0}\right) \in U_{2} \) und zwei stetig diffbare Fkt. \( y, z : U_{1} \rightarrow \mathbb{R} \), so dass \(\forall\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in U_{1} \times U_{2} \), die Gleichung \( f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \Leftrightarrow\left(x_{2}, x_{3}\right)=\left(y\left(x_{1}\right), z\left(x_{1}\right)\right) \) erfüllt.
Könnte dies erstmal Jemand überprüfen/bestätigen, dass das Sinn ergibt, vorallem bei der Matrix war ich mir unsicher.
Des Weiteren bräuchte ich Hilfe um das lokale Max. / Min. für y oder z zu prüfen, wie sehen y oder z aus bzw. die entspr. Jacobi Matrix usw.?
