Warum sind die Matrizen transpose(A) * A und A * transpose(A) positiv definit?

Question

Aufgabe:

Sei A eine nxn Matrix über dem Körper der reelen Zahlen. Warum sind die Matrizen transpose(A) * A und A * transpose(A) positiv definit?

Problem/Ansatz:

Also ich muss zeigen, dass alle Eigenwerte größer 0 sind. Da A invertierbar ist weiß ich auch, dass kein Eigenwert gleich 0 ist. Somit kann ich Semidefinitheit ausschließen. Jeder Eintrag der entstehenden symmetrischen Matrix ist positiv, da A invertierbar ist. Ich verstehe nicht so ganz wie sich diese Tatsachen auf meine Eigenwerte auswirken und warum diese alle positiv sind.

Comments

1. Ist vorausgesetzt, dass A invertierbar ist??

2. Verwende die ursprüngliche Definition von "positiv d.."

---

ja es ist vorausgesetzt, dass A invertierbar ist

---

Und wie lautet die Definiton von "positiv definit"?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Dass die beiden Matrizen \(A^TA\) und \(AA^T\) positiv semidefinit sind, ist klar:$$\left<\vec x\big|A^TA\,\vec x\right>=\left<(A^T)^T\vec x\big|A\,\vec x\right>=\left<A\vec x\big|A\,\vec x\right>\ge0$$$$\left<\vec x\big|AA^T\,\vec x\right>=\left<A^T\vec x\big|A^T\,\vec x\right>\ge0$$

Da \(A\) zusätzlich invertierbar ist, ist auch \(A^T\) invertierbar und der Fall, dass die beiden Skalarprodukte oben \(=0\) sind, für alle \(\vec x\ne\vec0\) ausgeschlossen. Denn wegen der Invertierbarkeit wird nur der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet.

Daher sind die beiden Matrizen \(A^TA\) und \(AA^T\) sogar positiv definit.

Comments

vielen herzlichen Dank :)