Question

Energiemethode zur Lösung der Differentialgleichung y′′ = f(y): Man multipliziert die Gleichung mit 2y′ und benutzt (y′²)′ = 2y′y′′.
Behandle das Anfangswertproblem y′′ = 2e^y, y(0) = 0, y′(0) = −2 auf diese Weise.

danke im voraus

Answer 1

Hallo,

y′′ = 2e^y |*2y'

y′′  2 y' = 2e^y 2 y'

Integration nach \( x \rightarrow \frac{1}{2}\left(y^{\prime}\right)^{2}=F(y)+c \)  = 2e^y +C  | *2

mit \( \frac{d}{d x} F(y)=f(y) y^{\prime} \)

(y')^2 = 4 e^y +2C

AWB: y(0) = 0, y′(0) = −2 einsetzen:

4=4 e^0 +2C -------->C=0

--->

y' = ± √ (4 e^y +2C)

y' = ± √ 4 e^y

----->

a) y' = √ 4 e^y = 2 * √ e^y ------>Die AWB erfüllen die Gleichung nicht ,y′(0) = −2

b) y' = - √ 4 e^y = - 2 * √ e^y

y' =  - 2 * √ e^y

dy/dx =  - 2 * √ e^y

dy/ √e^y)= -2dx

-2 e^(-y/2) = -2x+C |*(-1)

2 e^(-y/2) = 2x-C |:2

e^(-y/2) = x- (C/2) |ln(..)

-y/2= ln(x- (C/2))

y/2= - ln(x- (C/2))

y= - 2 ln(x- (C/2)) ; y(0)=0

0 = - 2 ln(- (C/2)) ----->C= -2

y= - 2 ln(x+1) -->Lösung