Eine Beweisaufgabe zu den Existenz- und Eindeutigkeitssatz.

Question

Sei \( I \subset \mathbb{R} \) ein Intervall und
\( f: I \times \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}^{n}, \quad(x, y) \mapsto f(x, y) \)
eine stetige Funktion, die in \( I \times \mathbb{R}^{n} \) einer globalen Lipschitz-Bedingung mit der Konstanten \( L \in \mathbb{R}_{+} \)genügt. Man beweise:
a) Zu jedem Punkt \( (a, c) \in I \times \mathbb{R}^{n} \) gibt es eine auf dem ganzen Intervall \( I \) definierte Lösung \( \varphi: I \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) der Differentialgleichung
\( y^{\prime}=f(x, y) \)
mit der Anfangsbedingung \( \varphi(a)=c \).
b) Seien \( \varphi, \psi: I \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) zwei Lösungen der Differentialgleichung \( y^{\prime}=f(x, y) \). Für ein \( a \in I \) sei \( \delta:=\|\varphi(a)-\psi(a)\| \). Dann gilt
\( \|\varphi(x)-\psi(x)\| \leqslant \delta e^{L|x-a|} \quad \text { für alle } x \in I . \)

Comments

So, ich möchte üben und besser werden in dem Beweisaufgaben von Differentialgleichungen.

Zu erst möchte ich anmerken, dass das Lösen von Rechenaufgaben doch sich eher als gelungen und gekonnt angesehen werden kann. Jedoch habe ich wirklich Schwierigkeiten mit dem Beweisen in der Mathematik, nein es ist nicht mein Hauptfach daher das Interesse an Mathelounge.

Zuerst, habe ich mich mit der Aufgabenstellung befasst, durch die gegebene Information bezüglich der lokalen Lipschitz Bedingung bin ich der Meinung, dass hier in a) nach dem Existenzsatz gefragt ist und in b) nach dem Eindeutigkeitssatz.

Nun hatte ich nicht extra vor meine Notizen aus der dafür zu öffnen, dennoch habe ich dies in einem von mir selbst erstelltem Szenario getan um mir die Aufgabe selbst zu erklären, im Selbstgespräch zu verstehen.

Mir sprang dennoch der erste Beweis aus dem Kapitel bezüglich gewöhnlicher DGL ins Auge, nur stellt sich mir die Frage ob dieser in der Art genügt um die Aufgabe zu lösen. In dem Beweis nimmt man an, dass es eine beliebige Lösung gibt, definiert 2 Funktionen F(t) und G(t), integriert beide nach der Methode der getrennten Variablen und zeigt damit die Existenz der Lösung. Nun habe ich in der Aufgabe nicht eine gewöhnliche DGL mit getrennten Variablen. Sondern die generelle Struktur der Aufgabenstellung ist größer, damit Umfangreicher und würde meines Erachtens mehr an "Beweis" verlangen.

Da ich vor kurzem die Klausur zu DGLs und Maßtheorie schrieb aber nicht bestand, sei mir der Satz von der Existenz bezüglich linearen DGLs bekannt und dieser wird hier meiner Meinung nach wichtig.

Dies ist eine Übungsaufgabe die uns zusätzlich zu den eigentlichen Blättern gegeben worden ist, in den eigentlichen Übungen haben wir keine Beweise geführt. Nun frage ich mich etwas wie ich diverse Ideen wie zb den Bannachraum mit der Epsilon Näherung an eine Variable aus dem Intervall angeben soll bzw. Beweisen.

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit.

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Es geht hier nicht um lineare DGLs. Der Satz von Picard-Lindelöf mag hilfreich sein..

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Hallo User,

genau die Rede ist von diesem Satz. Ich habe den Satz von Picard Lindelöf in den hochgeladenen Forster Notizen geöffnet. Nun stellt sich mir die Frage in wie Weit der Beweis aus dem Buch gleich dem Beweis in dieser Aufgabe sein soll.

Denn im Buch wird der Beweis geführt durch den Bannachschen Fixpunktsatzes würde hier ebenfalls solch ein Beweis Sinn machen ? Oder würde es ausreichen die Eigenschaften der gegebenen Aufgabenstellung zu erklären und demnach zu argumentieren, dass die nach dem Existenzsatz von Lindelöf zeigt, dass für ein Epsilon größer 0, für ein a eine Annäherungen durch das Epsilon eine Lösung der DGL ist.

Ist verstanden worden, was ich versuche zu sagen ?

Für mich sind das etwas mehr als nur 1 Konzept was hier verwendet wird um den Satz von Lindelöf zu beweisen. Eindeutigkeit von den Randbedingungen a und c als Variablen aus dem Intervall, die Äquivalenz der Integralgleichung, Banachscher Fixpunktsatz mit Bannachraum usw.

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Wenn Du Picard-Lindelöf verwenden darfst, ist es einfacher ihn zu benutzen. Wenn nicht, dann mußt du über den Banachschen Fixpunktsatz gehen (alles für a).