Aufgabe:
Ein Unternehmen stellt die beiden Produkte X X X und Y Y Y her. Die Produktionskosten K K K hängen von der produzierten Anzahl x x x des Produktes X X X und y y y des Produktes Y Y Y wie folgt ab:
K(x,y)=3x10+3y10+1600x+1000y+15. K(x, y)=\frac{3 x}{10}+\frac{3 y}{10}+\frac{1600}{x}+\frac{1000}{y}+\frac{1}{5} . K(x,y)=103x+103y+x1600+y1000+51.Aktuell werden x0=400 x_{0}=400 x0=400 Stück des Produktes X X X und y0=200 y_{0}=200 y0=200 Stück des Produktes Y Y Y hergestellt. Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differenzials an der Stelle (x0,y0) \left(x_{0}, y_{0}\right) (x0,y0) einen Näherungswert für K K K, wenn sich die Anzahl x x x um 6% 6 \% 6% und die Anzahl y y y um 1% 1 \% 1% erhöht.
K(x,y)≈K(x0,y0)+∂xK(x0,y0)(x−x0)+∂yK(x0,y0)(y−y0)K(x,y) \approx K(x_0,y_0)+ \partial_xK(x_0,y_0)(x-x_0)+\partial_yK(x_0,y_0)(y-y_0)K(x,y)≈K(x0,y0)+∂xK(x0,y0)(x−x0)+∂yK(x0,y0)(y−y0)
K(x0,y0)=189.2 K(x_0,y_0) = 189.2 K(x0,y0)=189.2
∂xK(x,y)=310−1600x2 \partial_xK(x, y) = \frac{3}{10}-\frac{1600}{x^2} ∂xK(x,y)=103−x21600 , ∂xK(x0,y0)=0.29 \partial_xK(x_0, y_0) = 0.29 ∂xK(x0,y0)=0.29
∂yK(x,y)=310−1000y2 \partial_yK(x, y) = \frac{3}{10}-\frac{1000}{y^2} ∂yK(x,y)=103−y21000 , ∂yK(x0,y0)=0.275 \partial_yK(x_0, y_0) = 0.275 ∂yK(x0,y0)=0.275
K(x,y)≈189.2+0.29∗(400∗0.06)+0.275∗(200∗0.01)=196.71K(x,y) \approx 189.2 + 0.29 * ( 400*0.06) + 0.275 * ( 200*0.01 ) = 196.71 K(x,y)≈189.2+0.29∗(400∗0.06)+0.275∗(200∗0.01)=196.71
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