Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differenzials an der Stelle (x_{0}, y_{0}) einen Näherungswert für k x

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen stellt die beiden Produkte \( X \) und \( Y \) her. Die Produktionskosten \( K \) hängen von der produzierten Anzahl \( x \) des Produktes \( X \) und \( y \) des Produktes \( Y \) wie folgt ab:
\( K(x, y)=\frac{x}{5}+\frac{900}{x}+\frac{y}{5}+\frac{800}{y}+\frac{2}{5} . \)
Aktuell werden \( x_{0}=300 \) Stück des Produktes \( X \) und \( y_{0}=200 \) Stück des Produktes \( Y \) hergestellt. Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differenzials an der Stelle \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \) einen Näherungswert für \( K \), wenn sich die Anzahl \( x \) um \( 8 \% \) und die Anzahl \( y \) um \( 2 \% \) erhöht.
\( \Delta x=\quad, \quad \Delta y= \)
\( K_{x}(x, y)=\square K_{x}(300,200)= \)
\( K_{y}(x, y)=\quad \Longrightarrow K_{y}(300,200)= \)
\( K(300,200)= \)
Näherungswert für die Produktionskosten ist somit:
\( K\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)= \)

Lösung + Weg wären hilfreich ^^

Comments

Hast u denn die Ableitungen ausgerechnet? Woran scheiterst du?

lul

Answer 1

Aloha :)

Das totale Differential der Funktion$$K(x;y)=\frac x5+\frac{900}{x}+\frac{y}{5}+\frac{800}{y}+\frac25$$kann man schnell hinschreiben:$$dK(x;y)=\frac{\partial K}{\partial x}\,dx+\frac{\partial K}{\partial y}\,dy=\left(\frac15-\frac{900}{x^2}\right)dx+\left(\frac15-\frac{800}{y^2}\right)dy$$

Ausgehend von \((x_0;y_0)=(300;200)\) erhöht sich \(x\) um \(8\%\) und \(y\) um \(2\%\):$$\Delta x=x_0\cdot8\%=24\quad;\quad\Delta y=y_0\cdot2\%=4$$Das heißt für die lineare Änderung der Funktion \(K\):$$\Delta K(300;200)=\left(\frac15-\frac{900}{300^2}\right)\cdot24+\left(\frac15-\frac{800}{200^2}\right)\cdot4=4,56+0,72=5,28$$