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Gegeben sei die Funktion \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x, y, z)=x^{3}+y^{2}+z^{2}+6 x y+2 z \).

a) Bestimmen Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix von \( f \).
b) Bestimmen Sie die kritischen Punkte von \( f \).
c) Bestimmen Sie den Typ der kritischen Punkte (lokales Maximum, lokales Minimum, Sattelpunkt).

ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, könnte die jemand mal vorrechnen?

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Aloha :)

Wir betrachten die Funktion \(f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R\) mit$$f(x;y;z)=x^3+y^2+z^2+6xy+2z$$

zu a) Gradient und Hesse-Matrix bestimmen:$$\operatorname{grad} f(x;y;z)=\begin{pmatrix}3x^2+6y\\2y+6x\\2z+2\end{pmatrix}\quad;\quad H(x;y;z)=\begin{pmatrix}6x & 6 & 0\\6 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}$$

zu b) Bestimmung der kritischen Punkte:$$\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y;z)=\begin{pmatrix}3x^2+6y\\2y+6x\\2z+2\end{pmatrix}\implies\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{x^2}{2}\\y=-3x\\z=-1\end{array}\right.$$Wegen \(\left(-\frac{x^2}{2}=-3x\right)\) bzw. \(\left(0=\frac{x^2}{2}-3x=3x(\frac x6-1)\right)\) ist \(x=0\) oder \(x=6\) und wir erhalten 2 kritische Punkte:$$K_1\left(0|0|-1\right)\quad;\quad K_2\left(6|-18|-1\right)$$

zu c) Bestimmung der Art der Extrema$$H_1(0|0|-1)=\begin{pmatrix}0 & 6 & 0\\6 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}\stackrel{(\ast)}{\implies} \tilde H=\begin{pmatrix}2 & 6 & 0\\6 & 0 & 0\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}\implies M_1=2\;;\;M_2=-34$$

In \((\ast)\) habe ich die erste und zweite Zeile und zugleich die erste und zweite Spalte vertauscht. Das lässt die Eigenwerte der Hesse-Matrix ungeändert. Nun haben aber der erste und zweite Hauptminor unterschiedliche Vorzeichen, sodass die Hesse-Matrix indefinit ist. Bei \(K_1\) liegt also ein Sattelpunkt vor.

$$H_2(6|-18|-1)=\begin{pmatrix}36 & 6 & 0\\6 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}\implies M_1=36\;;\;M_2=60\;;\;M_3=72$$

Alle Hauptminoren sind positiv, also ist die Hesse-Matrix für \(K_2\) positiv definit. Daher liegt bei \(K_2\) ein Minimum vor.

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