Aloha :)
Hier würde ich zur Polardarstellung übergehen:$$z_1=1+i=\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\,i\right)=\sqrt2\left(\cos\frac\pi4+i\,\sin\frac\pi4\right)=\sqrt2\cdot e^{i\frac\pi4}$$$$z_2=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,i=\sqrt3\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\,i\right)=\sqrt3\left(\cos\frac\pi6+i\,\sin\frac\pi6\right)=\sqrt3\cdot e^{i\frac\pi6}$$$$z_3=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,i=\sqrt3\left(-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\,i\right)=\sqrt3\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\,\sin\frac{5\pi}{6}\right)=\sqrt3\cdot e^{i\frac{5\pi}{6}}$$
Damit gehst du in den Bruch:$$\frac{z_1^6\cdot z_2^4}{z_3^8}=\frac{\left(\sqrt2\cdot e^{i\frac\pi4}\right)^6\cdot\left(\sqrt3\cdot e^{i\frac\pi6}\right)^4}{\left(\sqrt3\cdot e^{i\frac{5\pi}{6}}\right)^8}=\frac{2^3\cdot e^{i\,\frac{6}{4}\pi}\cdot3^2\cdot e^{i\,\frac{4}{6}\pi}}{3^4\cdot e^{i\,\frac{40}{6}\pi}}=\frac89\exp\left(i\frac32\,\pi+i\frac{2}{3}\,\pi-i\,\frac{2}{3}\pi\right)$$$$\phantom{\frac{z_1^6\cdot z_2^4}{z_3^8}}=\frac89e^{i\,\frac32\pi}=\frac89\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=\frac89\left(0-i\right)=-\frac89\,i$$
