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Aufgabe:
Berechnen Sie für die komplexen Zahlen \( z_{1}, z_{2} \) und \( z_{3} \) mit \( z_{1}=1+1 \mathrm{i}, \quad z_{2}=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}, \quad z_{3}=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i} \) den folgenden Ausdruck:

\( \frac{z_{1}^{6} z_{2}^{4}}{z_{3}^{8}}= ....... \)


Frage: Kann mir hier jemand Rechenweg + Lösung hinschreiben?

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Aloha :)

Hier würde ich zur Polardarstellung übergehen:$$z_1=1+i=\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\,i\right)=\sqrt2\left(\cos\frac\pi4+i\,\sin\frac\pi4\right)=\sqrt2\cdot e^{i\frac\pi4}$$$$z_2=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,i=\sqrt3\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\,i\right)=\sqrt3\left(\cos\frac\pi6+i\,\sin\frac\pi6\right)=\sqrt3\cdot e^{i\frac\pi6}$$$$z_3=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,i=\sqrt3\left(-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\,i\right)=\sqrt3\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\,\sin\frac{5\pi}{6}\right)=\sqrt3\cdot e^{i\frac{5\pi}{6}}$$

Damit gehst du in den Bruch:$$\frac{z_1^6\cdot z_2^4}{z_3^8}=\frac{\left(\sqrt2\cdot e^{i\frac\pi4}\right)^6\cdot\left(\sqrt3\cdot e^{i\frac\pi6}\right)^4}{\left(\sqrt3\cdot e^{i\frac{5\pi}{6}}\right)^8}=\frac{2^3\cdot e^{i\,\frac{6}{4}\pi}\cdot3^2\cdot e^{i\,\frac{4}{6}\pi}}{3^4\cdot e^{i\,\frac{40}{6}\pi}}=\frac89\exp\left(i\frac32\,\pi+i\frac{2}{3}\,\pi-i\,\frac{2}{3}\pi\right)$$$$\phantom{\frac{z_1^6\cdot z_2^4}{z_3^8}}=\frac89e^{i\,\frac32\pi}=\frac89\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=\frac89\left(0-i\right)=-\frac89\,i$$

Avatar von 148 k 🚀

Vielen Dank, war schon halb am verzweifeln xD

Hallo Tschakabumba, ich sehe du kennst dich hier sehr gut aus. Könntest du mir bei der Aufgabe auch helfen? ich brauche Sie wirklich richtig deswegen will ich keinen Fehler machen. Meine Aufgabe lautet:

Berechnen Sie für die komplexen Zahlen \( z_{1}, z_{2} \) und \( z_{3} \) mit

\(z_{1}=-1+1 \mathrm{i}, \quad z_{2}=1+1 \mathrm{i}, \quad z_{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}\mathrm{i}\)

den folgenden Ausdruck:

\(\frac{z_{1}^{4} z_{2}^{6}}{z_{3}^{8}}=\)

Hinweise:

- Geben Sie die Antwort mathematisch exakt, also nicht mit Fließkommazahlen an.
- Falls nötig, schreiben Sie \( \pi \) als pi, \( \sqrt{a} \) als sqrt(a) und \( \mathrm{e}^{x} \) als exp(x).


Danke im Voraus :* ich hoffe du kannst mir hier helfen

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Hallo

nein , dann dann übst du ja nicht mit komplexen Zahlen zu rechnen.

bestimme zuerst das Quadrat  von allen 3

Beispiel z2^2= 9/4-3/4+3*√3/2*i=3/2+3*√3/2*i jetzt noch mal quadrieren und du hast hoch 4

also einfach die binomische Formel anwenden, und i^2=-1

oder du verwandelst alle in die form r*e^it, dann ist das potenzieren und multiplizieren einfacher  am ende dann wieder in rcos(φ)+irsin(φ) verwandeln.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

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