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Aufgabe:

Untersuche folgende Funktionen f: D→ℝ auf Lipschitz Stetigkeit:


f(x)=5x-4, für D=ℝ

f(x)=x2, für D=[-1,1]


Problem/Ansatz:

Wie wird das gelöst?

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Kennst Du denn die Definition von Lipschitz Stetigkeit?

Ja schon, nur das Thema ist sehr neu grad für mich und ich verstehe nicht wie ich das Anwenden kann

Eine Funktion \( f\colon D\rightarrow\R\) heißt lipschitzstetig, wenn eine Konstante \( L \) existiert, sodass $$|f(x_1)-f(x_2)|\le L \cdot |x_1-x_2|$$ für alle \(x_1, x_2 \in D\) gilt.

i) Seien x1 und x2 in D=ℝ dann ist

$$ |f(x_1)-f(x_2)| = 5 |x_1 - x_2| $$

Existiert jetzt eine solche Konstante L oder nicht?

(ii) Seien x1 ≠ x2 in [-1,1]

Dann ist

$$ |f(x_1)-f(x_2)|\le L \cdot |x_1-x_2|\\ \iff \left|\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\right|\le L $$

Tipp: Nach dem Mittelwertsatz existiert ein \( \xi \) zwischen \( x_1 \) und \( x_2\) mit

$$ \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} = f'(\xi) $$

Wie könnte man hier das L wählen?

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