Untersuche folgende Funktionen f: D→ℝ auf Lipschitz Stetigkeit:

Question

Aufgabe:

Untersuche folgende Funktionen f: D→ℝ auf Lipschitz Stetigkeit:

f(x)=5x-4, für D=ℝ

f(x)=x², für D=[-1,1]

Problem/Ansatz:

Wie wird das gelöst?

Comments

Kennst Du denn die Definition von Lipschitz Stetigkeit?

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Ja schon, nur das Thema ist sehr neu grad für mich und ich verstehe nicht wie ich das Anwenden kann

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Eine Funktion $f\colon D\rightarrow\R$ heißt lipschitzstetig, wenn eine Konstante $L$ existiert, sodass $$|f(x_1)-f(x_2)|\le L \cdot |x_1-x_2|$$ für alle $x_1, x_2 \in D$ gilt.

i) Seien x1 und x2 in D=ℝ dann ist

$$|f(x_1)-f(x_2)| = 5 |x_1 - x_2|$$

Existiert jetzt eine solche Konstante L oder nicht?

(ii) Seien x1 ≠ x2 in [-1,1]

Dann ist

$$|f(x_1)-f(x_2)|\le L \cdot |x_1-x_2|\\ \iff \left|\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\right|\le L$$

Tipp: Nach dem Mittelwertsatz existiert ein $\xi$ zwischen $x_1$ und $x_2$ mit

$$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} = f'(\xi)$$

Wie könnte man hier das L wählen?